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1、直线的方向向量与平面的法向量判断线面位置关系一、直线的方向向量空间中任意一条直线的位置可以由，点P的坐标为.1 .应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个.2. 利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的 位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.基础预备1. 若直线l的方向向量l=(1,3x，2)，直线l2的方向向勒=(2,2y,5)，且l1l2，则xy=.二、平面的法向量如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面， 记作上，如果上，那么向量叫做平面的法向量. 平面的法向量是非零向量； 一个平面的法向量不是唯一的，其所有法向量都互相平行 向量是平
2、面的法向量，若，则有例 1 已知点 4(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，求平面 ABC 的一个 法向量.思路点拨可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量.1 .利用待定系数法求平面法向量的步骤上一个定点4以及一个定方向确定.直线l上的向量 以及与 共线的向量叫做直线l的方向向量。r机试:1. 若A( 1,0,1) , B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量 为()A. (1,2,3)B . (1,3,2)C. (2,1,3)D. (3,2,1)2. 已知直线l过A(3,2,1), 8(2,2,2),且a = (2,0,尤)是直线l的一 个方向向量，
3、则x=.考点1直线的方向向量的求解及应用【例1】(1)已知直线l1的一个方向向量为(一7,3,4)，直线l2的一个方向向量为 3，y,8)，且l/12，贝。x=，y=.(2)在空间直角坐标系中， 已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足AP : PB = 3 : 2，则直线 AB的一个方向向量为-、设厂虫的法宥学，插 E商 宾 向&广:在掂取-祥不火书,升萝AB.AC 点*4:底:列岫程狙 孑汩解混勤:-命项:金上零;年);取K土-八为鼎卷慎博取一】)将到平面的一个法向量练习：已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5,3)，求平面 ABC的单位法向量。考点2平
4、面法向量的求解及应用例2:在正方体ABCD - A B C D中，求 证：DB1是平面ACD 1的法向量变式：求平面AD 1的一个法向量2. 求平面法向量的三个注意点(1) 选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量.(2) 取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得 另两个值，就是平面的一个法向量.(3) 注意0：提前假定法向量n = (x, y, z)的某个坐标为某特定值 时，一定要注意这个坐标不为0.，ZABC=90，1，AD=2，求平练1如图，ABCD是直角梯形SA上平面ABCD，SA= AB=BC=1 面SBA与平面SCD的法向量.2.已知正方体ABCDAB1
5、CD1中，M N分别为BB1, CD1的 中点，建立适当的坐标系，求A面N的 一个法向量.确定平面的法向量通常有两种方法：(1) 几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直.(2) 几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量.三、利用的方向向量与平面的法向量判断线面位置关系5.利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关提示(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直).(2) 直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行.(3) 两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直).3 .已知
6、线段 AB的两端点坐标为 A (9 , - 3,4) , B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()A. xOy平行B. xOz平行C. yOz平行D. yOz相交3 .根据下列条件，判断相应的线、面位置关系.(1) 直线l，l2的方向向量分别是 a = (1，- 3，一 1)，b = (8,2,2)；(2) 平面 a， B 的法向量分别是 u = (1,3,0)， v= (-3，- 9，0).J例4如图，已知矩形-WCC*和矩形丑所在平面互相垂直，点 虬N分别在对角线BD:AEt且BM = - BD.AN = - AE, 求证:MN/平面CDE练习：如图，在正方形ABCD-A1B1CQ1中,
7、M,N分别 是CiC、B1C1的中点，求证:MN平面ABDI例5.在正方体ABCD -中,E、F分别是昭,CD中点，求证：DF1平面ADE1 .判断(正确的打“J”，错误的打“x”)(1)若向量AB是直线l的一个方向向量，则向量BA也是l的一个方向向量.()(2) 若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量. ()(3) 若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反.()(4) 一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量.()(5) 一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量.()2 .已知直线 l过A(3,2,1)，B (2,2,2)，且 a = (2,0，%)是
8、直线 l 的一个方向向量，贝U%=()3.已知平面a经过三点4底2潮2B(2,0，1)，C(3, 求平面a的一个法向量D 32,0)，试.如图，直三棱柱ABC-ABC中，匕ABC=90，AB=BC=BB1=1，求平面ABC的一个法向量.4.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 中，ZABC=90，AB=BC=BB1=1，求平面ABC的一个法向量.一1AB = BC = 1，AD =。，求平2B4.图所示，在四棱锥S ABCD直角梯形，N ABC = 90，SA 底面:AB平面SBA的且SA =一个法向量.1.若两条直线1、匕的方向向量分别为=(1,2，2)，b=(2，4,4)，贝虬与乌的位置关系
9、.2 .根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1) 直线lr，l2的方向向量分别是a = (1， 3， 1)，b = (8,2,2)；(2) 平面 a，p的法向量分别是u = (1,3,0)，v = ( 3， 9，0)；(3) 直线l的方向向量，平面a的法向量分别是a = (1， 4，3)，u = (2,0,3)；(4) 直线l的方向向量，平面a的法向量分别是a = (3,2,1)，u =(1,2， 1).5.如图所示，四棱锥ABCD,底面ABCD为正方形，面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：(1) 直线AB的方向向量；(2) 求证：BD上平面VAC,并确定平面AC的法向量.2、如图所示，已知P、Q是正方体ABCDA1B1C1Dl的面A1B1BA和面ABCD的中心. 证明：PQ平面BC/.
