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1、第四章 微分学的应用一、本章学习要求与内容提要(一)学习要求1. 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2. 会用洛必达法则求未定式的极限.3. 掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4. 理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会 解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5. 会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的 图形.重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调 性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元 函数的最大值与最小值的应用题.(二)内容提要1. 三个微分中值定理(1)罗尔(Rolle)定理如果函数y = f
2、 (x)满足下列三个条件： 在闭区间a, b上连续； 在开区间(a,b)内可导； f (a)二 f (b),则至少存在一点g e (a,b),使广(g ) = 0 - 拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数y = f (x)满足下列两个条件： 在闭区间a, b上连续； 在开区间(a,b)内可导，则 至少存 在一点 和(a, b)，使 得 代)=f(b) f (a),或 b - af (b) - f (a) = f(g )(b - a)-柯西(Cauchy)中值定理如果函数f (x)与g(x)满足下列两个条件： 在闭区间a, b上连续； 在开区间(a,b)内可导，且g (x)丰0,x g
3、(a,b),则在(a,b)内至少存在一点g，使得f (b) - f (a)=墮.g (b) - g (a) g(g)2. 洛必达法则如果 lim f (x) = 0, lim g (x) = 0 ；x T xxT x 函数f (x)与g(x)在x某个邻域内(点x可除外)可导，且00g (x)丰 0 ；lim牟耳=A(A为有限数,也可为8,+8或-8)，则xTx0 g ( x)lim凹xTx g(x)xTx0注意上述定理对于x T8时的0型未定式同样适用,对于x T x0 0 或x T8时的8型未定式也有相应的法则.83. 函数的单调性定理设函数f (x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)
4、内可导，则有 右在(a,b)内广(x) 0，则函数f (x)在a,b上单调增加； 若在(a,b)内八x) 0，则函数f (x)在a,b上单调减少.4 . 函数的极值、极值点与驻点 极值的定义 设函数f (x)在点x的某邻域内有定义，如果对于 该邻域内任一点x(x丰x )，都有f (x) f (x )，贝【J称00f (x )是函数f (x)的极小值.0函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点x称为函数f (x)的极值点.驻点使广(x) = 0的点x称为函数f (x)的驻点. 极值的必要条件 设函数f (x)在x处可导，且在点x处取得极00值，那么f x )二0.0 极值第一充分
5、条件设函数f (x)在点x连续，在点x的某一去心邻域内的任一点x处可00导，当x在该邻域内由小增大经过x时，如果0 广(x)由正变负，那么x是f (x)的极大值点，f (x )是f (x)的极大00值； 广(x)由负变正，那么x是f (x)的极小值点，f (x )是f (x)的极小值； 广(x)不改变符号，那么x不是f (x)的极值点.0 极值的第二充分条件设函数f (x)在点x处有二阶导数，且f f(x )= 0， f心L 0，则x是0 0 0 0函数f (x)的极值点，f (x )为函数f (x)的极值，且有0 如果f (x ) 0，则f (x)在点x处取得极小值.005. 函数的最大值与
6、最小值 在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值 . 连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间 的端点处取得.6. 函数图形的凹、凸与拐点曲线凹向定义 若在区间(a,b)内曲线y = f (x)各点的切线都位 于该曲线的下方，则称此曲线在(a,b)内是向上凹的(简称上凹，或称 下凸)；若曲线y = f(x)各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在 (a,b)内是向下凹的(简称下凹，或称上凸)曲线凹向判定定理设函数在区间(a,b)内具有二阶导数， 如果在区间(a, b)内广(x) 0，则曲线y = f (x)在(a, b)内是上凹的. 如果在区间(a,b)内f(
7、x) 0，则曲线y = f(x)在(a, b)内是下凹 的.拐点 若连续曲线y = f (x)上的点P(xo,y)是曲线凹、凸部分的分 界点，则称点P是曲线y = f (x)的拐点.7. 曲线的渐近线水平渐近线 若当x S (或 xT+m或x TY )时，有f (x) T b( b 为常数)，则称曲线y = f(x)有水平渐近线y = b .垂直渐近线 若当x T a (或x Ta-或x +)( a为常数)时，有f (x) Tg，则称曲线y = f (x)有垂直渐近线x a 斜渐近线 若函数y = f (x)满足a = lim血， xb = lim f (x) 一 ax(其xTg中自变量的变化
8、过程x Tg可同时换成x T +8或x TV )，则称曲线y = f (x)有斜渐近线y = ax + b 二 、主要解题方法例1求下列极限( 1 )xcot x 一1lim(2)lim cosxln(x一3)xT0x 此极限为g，可直接应用洛必达法则xT3+ ln(ex -eg)( 4 )lim( ex .证 令f (x) = e x ex ，易见f (x)在(-g,+x)内连续，且 f (1) = 0 f(x) = ex e.当x 1时f r(x) = ex e f (1) = 0.当x 1时f(x) = ex e 0 可知f (x)为1,+g)上的严格单调增加 函数，即 f (x) f
9、=0.故对任意x丰1,有f (x) 0,即 ex ex 0.ex ex .例3求函数y =宁x3的单调性与极值.解 函数的定义域为(g,+g).y = x3 3x2 = x2(x 3)，令 y = 0, 驻点 x = 0, x = 312列表x(g,0)0(0,3)3(3,+g)y00+yX极小X由上表知，单调减区间为(3)，单调增区间为(3,+g)，极小值27y=-才求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中y = 3x2 - 6x, y I= 0 不能确定 x = 0处是否取极值，=9 0,得y=-27是极小值.x=34小结 用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式 移到不等式的
10、一边，再令此不等式的左边为函数f (x)；利用导数判定 f (x)的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例3知， 用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范 围有限，对f(x) = 0、广(x)及f(x)同时不存在的点不能使用.3. 求函数的凹向及拐点的方法例4求函数y = ln(1 + x2)的凹向及拐点.解 函数的定义域(-+8)，2(1 + x2) 2 x 2 x2(1 x2)y = =(1 + x2)2(1 + x2)2令 y = 0,得 y = 1，列表x(8,1)1(1,1)1(1,+8)ff y0+0yn拐点拐点n由此可知，上凹区间(1,1),下凹区间(8,1)u(1,+8),曲线的拐点 是(1,ln2).小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向
