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1、 量子力学期中考试试题物理常数：光速：；普朗克常数：；玻尔兹曼常数：；电子质量：；碳原子质量：；电子电荷：一、填空题：1、 量子力学的基本特征是 。2、 波函数的性质是 。3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1时，团簇（由60个原子构成的足球状分子）热运动所对
2、应的物质波波长：_（保留2位有效数字）。 4.一粒子用波函数描写,则在某个区域内找到粒子的几率为 。5、线性谐振子的零点能为 。6、厄密算符的本征值必为 。7、氢原子能级的简并度为 。8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。9、测不准关系反映了微观粒子的 。10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。11. 通常把 称为束缚态。12. 波函数满足的三个基本条件是： 。13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14两力学量对易的说明： 。15. 坐标与动量的不确定关系是： 。16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。17. 何谓定态： 。1. 束缚态、非束缚态及相
3、应能级的特点。2. 简并、简并度。3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在立体角中被测到的几率。4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在球壳中被测到的几率。5. 一粒子的波函数为，写出粒子位于间的几率。6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。7. 写出三维无限深势阱 中粒子的能级和波函数。8. 一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，写出其状态波函数和能级表达式。9. 何谓几率流密度？写出几率流密度的表达式。10. 写出在表象中的泡利矩阵。11. 电子自旋假设的两个要点。12. 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？13. 写出电子自旋的二本征态和本征值。14
4、. 给出如下对易关系： 16. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ， 准确叙述 及 分别表示什么样的物理意义。 18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量有什么样的要求？ 22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 23. 量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开：，写出展开式系数的表达式。24. 一维运动中，哈密顿量 ，求25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。28.
5、 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。二、计算题：1、利用玻尔索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。已知外磁场，玻尔磁子，求动能的量子化间隔，并与及的热运动能量相比较。2. .证明在定态中，几率流与时间无关。3. 一粒子在一维势场 中运动，（1）求粒子的能级和对应的波函数。（2）若已知时，该粒子状态为：，求时刻该粒子的波函数；（3）求时刻测量到粒子的能量分别为和的几率是多少？（4）求时刻粒子的平均能量和平均位置。4.一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式
6、是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1) 转子绕一固定轴转动：(2) 转子绕一固定点转动：5. 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。6. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。7. 设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（一）.已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。（二）. 设氢原子在时处于状态 ，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。（六）、当为一小量时，利用微扰论求矩阵 的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。（十）、在表象中，求自旋算符在方向投影算符的本征值和相应的本征态。（十四）、有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.（十五）、试用量子化条件,求谐振子的能量谐振子势能 （十八）、在表象中，求的本征态
