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1、第十七届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答(2006 年 10 月 14 日 下午 2： 30 - 5 : 00)备注：甲、乙、丙组分别对应重点院校、一般院校、经济类院校的学生注意：本考卷共九题。甲组九题全做，乙组只做前七题一、填空题(每题2分，共20分)1设严格单调函数y = f(x)有二阶连续导数，其反函数为x=d(y),且f(1)=1,(1)=2, f “(1)=3,则半“(1)= 解应填_3 .8由 “ 一,一 y.3,知；：(1-3.(y) y (y)82设单位向量 人jh勺夹角为0(0/a +b +2abcos日ab sin 日1跳2心+用一翻柚斫呦日2海2曲+b2+2abc
2、osOab2(a b)3.设f(X)二吋荷，则严(0)二#解 应填2100(100)!.因为当 x 冷时,f(x)121 2x 4x1 -2x1 (2x)=(2x)3n (2x)3n1,所以 f (100)(0) - -2100 (100)!.n卫n卫2006 n4. _0x sin x d x =解应填(2006)2 n.02006 n2006 n2I t =2006 n x 烏6 n(2006 n-1) si ntd(2006 n t)=tsi ntdt+2006 冗si ntdt=I +2 =0, p 1,且lim n p(en1)an=1.若为an收敛，则p的取值范围为n解应填(2,；
3、).1 1 _ 因为 en -1 (nr -),所以 lim np(en -1)an = lim npan =1.nn n_jC由正项级数的比较判别法知，若van收敛，则P -11,即p的取值范围应为n. . 2 2 2 _ , 7. 圆柱面x +y =a夹在平面z = y与xOy面之间的侧面积 A=解应填4a2 .由曲线积分的几何意义及 对称性知A =2 y yds =2a2 sintdt =4a2.&当u 0时f(u)有一阶连续导数，且f(1) =0,又二元函数z=f(eex f ( ：x) f (0) f (x)(e x e)Axey)满足 1,则f(u)二 次矽解应填In u.记 u
4、=ex _ey,则=ex f (u) _ey f (u) =u f (u) =1,解出 f(u) = In | u | C.次 dy由于 u 0 且 f (1) =0,所以 f (u) = In u.19. _=x的通解为y =.x4解应填 xC1X3 C2X C3.12令 yp(x),则厂一1 yx 可化为 p 一1 p=x.Xx4 根据一阶线性微分方程的求解公式得 p =X2 Cx,因此通解为y二x . Cx3 C2x C3.1210. 设函数 f (x,y 1 tan :y (xy 式0),则 1工(x, y) f (x, y) =.解应填-1.因为 lim lim f (x, y) =
5、0, lim li叫 f (x, y) =1,所以 1叫 im f (x, y) -0m叫 f (x, y) = -1.nn二(10分)已知 f (sin x) =cosx tanx x, - x ：-，且 f (0) =1,求 f (x).22解 令t=sinx( x 0,1 1f(_)r(1 _)l n1 )0.nnn n再证不等式J _(1 一1) = 1l口(1_丄)ln(1一-)一- . 0.2ne e n n 2nn n设 f(x) =xln(1 - ?-In(1-x)-x,x xx 0,1),1f (x)-+ 1 1 -1,x (0,1),-2 22-x (2-x) (1-x)2
6、x(x 5x 5),2-x)2(1-x)20,%(0,1),所以 f(x)在0,1)上单增，f(0)=0,当 x (0,1)时 f(x)=l n(1-纬 所以 f (x)在0,1上单增,f (0) =0，当 x (0,1)时 f (x) =xl n(1) - l n(1 -x) -x 0,-1 0,22 x 1-xf(1H1l n1(n1 1 1 站lnxr .九.(10分)设函数f (x)在闭区间0,1上连续,a, b 0,1都有1 f(x)dr 成立.不妨假设a:b.，则f(x)dx 兰f(x)dx + f(x)dxb1af (x)dx = f( ) b -a 辽;1=f (U)a+| f)(1b)兰1 (b a) v?.
