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1、圆的方程题型一：圆的方程典例1、若圆C的方程为，则该圆的圆心坐标为_【详解】圆的方程为,化为:.圆的圆心坐标为:.故答案为:.典例2、求满足下列条件的各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径长为3;(2)圆心为点,半径长是(3)圆心为点,且经过点【详解】(1)设圆的标准方程为，因为圆心在原点，即，又由半径长为，即，圆的标准方程为.(2)设圆的标准方程为，以为圆心为点,即，半径长是，即，所以圆的标准方程为.(3)设圆的标准方程为，因为圆心为点,即，又由圆经过点，则所以圆的标准方程为. 典例3、已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点.（1）求圆的标准方程；（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；（3
2、）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.【详解】（1）圆以为圆心，为半径，所以圆的标准方程为.（2）不存在时，直线的方程为：；存在时，设直线的方程为：，联立方程，所以直线的方程为：，综上所述，直线的方程为或.（3）设直线：，联立方程，所以，代入得，化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.题型二：直线与圆的位置关系典例1、过原点作圆的两条切线，设切点分别为,则直线的方程是 _解：圆可化为圆心，半径为，过原点作的切线，切点分别为，直线可看作已知圆与以为直径的圆的交线，以为直径的圆的方程为，即，两式相减得，即直线的方程为，故答案为：典例2、已知圆C：x2+
3、y24x0. （1）直线l的方程为，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的值；（2）从圆C外一点P（4，4）引圆C的切线，求此切线方程【详解】（1）化圆C：x2+y24x0为：（x2）2+y24，知圆心（2，0）为半径为2，故圆心到直线的距离，；（2）当斜率不存在时，过P（4，4）的直线是x4，显然是圆的切线；当斜率存在时，设直线方程为y4k（x4）由，解得此时切线方程为3x4y+40.综上所述：切线方程为x4或3x4y+40.典例3、已知，若直线与圆相切，则的取值范围为（ ）ABCD【详解】将圆的方程化为标准方程得，该圆的圆心坐标为，半径为，由于直线与圆相切，则，化简得，由基本不等式可得
4、，即，当且仅当时，等号成立，解得.因此，的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数的取值范围，解题的关键就是利用基本不等式构造不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.典例4、函数 与函数的图象有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是_.【详解】由题意可知，函数的图象是以为圆心，半径为的上半圆.函数的图象是恒过点的直线.如图所示若使得函数 与函数的图象有两个不同的公共点则需直线夹在半圆的切线与过点的直线之间，即直线过点与点又直线为半圆的切线圆心到直线：的距离等于半径即，解得故答案为：典例5、已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）ABCD【详解】由，消
5、去参数得，所以在以为圆心，为半径的圆上，又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，的最大值为故选：C.题型三：圆与圆的位置关系典例1、已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（ ）A1条B2条C3条D4条【详解】根据题意，圆，即其圆心为，半径，圆，其圆心为，半径，则有，两圆外离，有4条公切线；故选：D典例2、已知圆与圆有公共点，则a的取值范围是_【详解】因为圆与圆有公共点，所以两圆位置关系为外切、相交、内切，所以得到，因为，故解得，即的取值范围为.故答案为：.典例3、点A、B分别为圆M：x2(y3)21与圆N：(x3)2(y8)24上的动点，点C在直线xy0上运动，则|AC|BC|的最小值为()A7
6、B8C9D10【详解】解：设M(0，3)关于直线的对称点为P(3，0)，且N(3，8)故选A.题型四：轨迹问题典例1、设是圆：内一定点，过作两条互相垂直的直线分别交圆于、两点，则弦中点的轨迹方程是_.【详解】设的中点为,设,.则. (1)由题意均在圆上则有：. (2)又由条件有，即.即= （3）将（1）代入（3）中有： （4）将（1）中两式平方相加得：.即 （5）将（2），（4）代入（5）得：.即弦中点的轨迹方程是.故答案为：典例2、在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，动点满足，则斜率的取值范围是（ ）ABCD解析：设点，整理得：，则点是以为圆心，为半径的圆，则，当直线与圆相切时，圆心到直线
7、的距离等于半径，所以，解得：，所以.故选：A跟踪训练1、圆心为，半径等于5的圆的方程是( )A.B.C.D.解析：因为圆心即为，半径，所以圆的标准方程为：，故选：C.【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.2、已知圆的圆心在直线上，过点且与直线相切，则圆的方程是_【详解】根据题意，圆的圆心在直线上，设圆的圆心为，半径为.又由圆过点且与直线相切，则有，解得，故圆心的坐标为，则，则圆的方程为.故答案为：3、方程表示圆，则实数的取值范围是_解：方程表示圆，即，故答案为：4、过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A.B.C.D.【详解】由题意得直线斜率存在，设为k，
8、则直线：，由直线与圆有公共点得，从而倾斜角取值范围是，选D.5、已知圆的方程为，过点作该圆的一条切线，切点为，那么线段的长度为_【详解】圆，即，故为圆心、半径，由切线长定理可得切线长，故答案为：6、已知圆的方程为，当圆心到直线的距离最大时，的值为（ ）AB-5CD5解：因为圆的方程为，配方可得，所以圆的圆心为半径，直线可化为，恒过定点，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，由斜率公式可得的斜率为，由垂直关系可得：，解得，故选：7、知点在圆：上，则的最小值是_【详解】表示圆上的点和点连线的斜率，设直线，即，如图，当直线与圆相切时，此时直线的斜率最小， ，解得：故答案为：8、若关于的方程有且只有一
9、个实数解，则实数的取值范围是_.解析： 可设，其中可转化为，可转化成直线与圆的位置关系问题，画出图形，再进行求解。【详解】设，可转化为，画出图形，如图所示：关于的方程有且只有一个实数解等价于两函数图像只有一个交点直线恒过点，圆心坐标为，半径为1，当直线与圆刚好相切时，解得，当直线与圆相交于时，故直线的斜率取值范围为，故答案为：9、 函数 与函数的图象有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是_.【详解】由题意可知，函数的图象是以为圆心，半径为的上半圆.函数的图象是恒过点的直线.如图所示若使得函数 与函数的图象有两个不同的公共点则需直线夹在半圆的切线与过点的直线之间即直线过点与点又直线为半圆的切线
10、圆心到直线：的距离等于半径即，解得，故答案为：10、设集合，当时，实数的取值范围是_.【详解】因为集合，因此直线与曲线有交点；又可化为表示以为圆心，为半径的半圆，作出图像如下：当与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；所以有，解得：或（由图像可舍去该值）；又为直线在轴截距，为使直线与半圆有交点，则有；因此实数的取值范围是.故答案为：11、若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）ABCD【详解】由圆的标准方程（x2）2+（y2）218，则圆心为（2，2），半径为，设直线为ykx圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应不大于等于r=，整理得：k24
11、k+10，解得：2k2，由tan15tan（4530）2，tan75tan（45+30）2，ktan，则直线l的倾斜角的取值范围，故选：D12、已知直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围是（ ）ABCD【详解】由直线，可得，又由，解得，即直线恒过定点，圆心，当时弦长最短，此时，解得，再由经过圆心时弦长最长为直径，所以弦长的取值范围是.故选：D.13、已知圆：，圆：，分别是圆，上的动员.若动点在直线：上，动点在直线：上，记线段的中点为，则的最小值为（ ）ABCD【详解】由题意，点动点在直线：上，动点在直线：上，线段的中点为，可得点在直线上，又由，点关于直线对称的点，则，所以的最小值为.故选：D14
12、、已知圆：和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【详解】当和与圆相切时，最大，要使圆上存在两点使得，则，即，解得，故选B15、已知，为平面内的一动点，且满足，则点的轨迹方程为（ ）ABCD【详解】由题,设为,由两点间距离公式可得,即,故选：B16、 直线与圆相交于A，B两点，弦长的最小值为_，若的面积为，则m的值为_【详解】直线恒过圆内的定点，圆心C到直线的距离,所以，即弦长的最小值为2；由,即或。若，则圆心到弦AB的距离 ，故不符合题意；当时，圆心到直线的距离为,设弦AB的中点为N，又，故，即直线的倾斜角为，则m的值为 .故答案为2，17、若为半圆直径延长线上的一
13、点，且，过动点作半圆的切线，切点为，若，则面积的最大值为_【详解】由题意，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，因为，所以，设 ，因为过点作半圆的切线，因为，所以，整理得，以点的轨迹方程是以为圆心，以为半径的圆，所以当点在直线上时，的面积最大，最大值为.故答案为：.18、 已知A，B为圆C:上两个动点，且AB=2，直线:，若线段AB的中点D关于原点的对称点为D，若直线上任一点P，都有，则实数的取值范围是_.【详解】设圆C关于原点对称的圆为圆C:，则A，B关于原点对称的点在圆上，的中点为AB的中点D关于原点的对称点为D，设C到直线的距离为d.则，即，解得或的取值范围是【点睛】本题考查图形的对称关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题.19、已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：.（1）求曲线的轨迹方程；（2）若与曲线交于不同的、两点，且(为坐标原点)，求直线的斜率；（3）若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.【详解】（1）由题，设点的坐标为，因为，即，整理得，所以所求曲线的轨迹方程为。（2）依题意，且，由圆的性质，可得点到边的距离为1，即点到直线的距离为，解得，所以所求
