第九章 内积空间和希尔伯特空间例题选讲例1． 是可分的充分必要条件存在一个可数的完全规范正交系证明：若是可分的，设是的一个可数稠密子集不妨设是线性无关的用方法，存在可数的完全规范正交系，使 = 因此是完全的 反之，若是的一个完全规范正交系，则在中稠密是中的可数稠密子集，因此是可分的证毕例2．求证：是空间上的投影算子的充分必要条件是：且证明：设是中相对应与闭线性子空间的投影算子对任意，存在，，使，对于，，其中，因此，即，因此设，，这就证明了反之，若满足，令，则是中的线性子空间还是闭的事实上，若，，则故，因此是闭的线性子空间，我们要证明是上的投影算子由于，因此，即又因此，对任意的 ，有，即由，其中 ，而这种分解是唯一的，可得是到上的投影算子例3．设是空间上有界线性算子若存在上的一个稠密线性子空间，对任意的，成立，且的值域在中稠密，求证：是酉算子证明：由5节定理5，只要证明是映射到上的保范算子设在中稠密，必有，因此是保范的我们再证明是映射到上的，因为的值域在中稠密，因此对任意，存在，使由于收敛，因此柯西列又，因此也是柯西列设，则= = ，因此是映射到上的这样，由5节定理5，是酉算子，证毕习题解答1设是内积空间中点列，若 且对一切有 ，证明： 证明： 因此 2，设是一列内积空间，令，当时，规定，其中，是数，，证明：是内积空间，又当都是空间，证明：也是空间。
证明：1若，则，因此对任意，，，即 2. 3． 这就证明了是维线性空间又由第七章第22题，是完备的（在22题中取p=2），因此是空间3. 设是维线性空间，是的一组基，证明成为上内积的充分必要条件是存在正定方阵使得证明： 必要性若是上内积对任意 =且当时， 因此正定方阵若正定方阵，则对任意，=下证是中内积1．因正定方阵，可得，且当时，2.3.因正定，这样因此是上内积证毕4. 设是实内积空间，若，则，当是复内积空间时，这个结论是否依然成立？解 当是实内积空间且时，由得即在复内积空间上此结论不成立 ，例如，但5．证明：内积空间中两个向量垂直的充要条件是：对一切成立证明 若，则任意复数，有因此若对一切数，，不妨设令，则由，得即，此可得，即证毕6．设是空间，，并且 ，证明是中包含的最小闭子集 证明：中包含的最小闭子集是，若，则存在，使设，则 ，因此，即又是中闭子空间，且，则 ，从而= ，所以证毕7．设是中的规范正交系，说明两元函数列是中的规范正交系，若完全则两元函数列也是完全的‘证明 对任意和，，因此是规范正交系若，则几乎处处，因此若记，则由于是完全的，必有，其中，这样由于是关于的傅立叶系数，因此我们就证明了Parseval等式成立有第3节定理3，完全的，因此是完全规范正交系，证毕8． 设为内积空间规范正交系，证明：到的投影算子为，则是的闭子空间，。
证明：对任意，，其中，因是的完全的规范正交系，因此，由投影算子定义证毕9．设为可分为空间，证明中任何规范正交系至多为可数集证明：倘若的一个规范正交系可数不是可数集，则任意，是可分的，则存在的可数稠密子集因不可数，则必有某，及，使，，这样此与矛盾证毕10．设是内积空间，是它的共轭空间，表示上线性范函，若到的映射是一一到上的映射，则是空间证明 设是中柯西列有可知是中柯西列因是完备的，因此有使设，其中，设，则 这就证明了是完备的内积空间，即为空间11. 设和为空间，是到中的有界线性算子，和分别表示算子的零空间和值域，证明，，，证明 设，则这样若，，必有，所以，设，则对任意，由的任意性可推得，即以上证明了，用代替可得同时，，以下证明首先，由可知从而又设，，其中对任意，，所以，即这样，即，于是这样我们就证明了用代替又可得，证毕12．设是空间中的有界线性算子，，证明： 证明 若，则 ‘因此，由第一节引理1，与线性相关，设由，可得，即证毕13．设为空间，是的闭子空间，，证明： 证明：设，其中，因为，所以又对任意， ，所以，这就证明了 又对任意的，，若，则令 因此又有即 证毕14．设是空间是的闭子空间，则为上某个非连续线性范函的零空间的 充要条件是是一维子空间，证明：若是非零连续线性范函的零空间，则存在，，对每个，使。
因此，即是一维子空间反之，若是由非零元生成的一维子空间，令，则 的充要条件是，即所以是非零连续线性范函的零空间证毕15．设为空间上正常算子，为的笛卡儿分解，证明： 证明 由 及，得，所以16．证明：是实内积空间上的自伴算子时，的充要条件是对所有，成立证明：时显然对任意， 有若任意，对任意，由的任意性，可知又由的任意性，17.设是空间中如下定义的算子：’证明：是酉空间证明：对任意，有‘因此若定义算子，，则即，，因此同理，即是酉算子证毕18．设是平面上有界可测集，表示上关于平面可测平方可积函数全体，对每个，定义，证明：是正常算子对于任意，，因此于是对任意，由的任意性得，，即 是正常算子， 证毕。