资产组合选择

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1、资产组合选择Harry Markowitz资产组合选择的进程可以大概被分为两个阶段。第一个阶段起始于观察和经 历，结束于对现有可用有价证券的未来表现的信念。第二个阶段起始于相关对现 有可用有价证券的未来表现的信念，结束于资产组合的选择。这篇论文与第二个 阶段有关。我们首先要思考一条法则，投资者要（应该）最大化被折现的预期或 期望收益。然而这条法则不能被当作一条假设用来解释，也不能最大地引导投资 行为。我们接下来思考另一条法则，投资者要（应该）考虑想得到的期望收益和 规避的方差。这条法则适用于很多地方，收益最大化、假设和投资行为。我们根 据“期望收益一一收益方差”法则，用几何方法证明信念与资产组

2、合选择之间的 几何关系。这条法则涉及到资产组合选择的理论是，投资者要最大化被折现的（或被资 产化的）未来收益的价值。由于未来的不确定性，收益一定是“预期的”或“期 望”的收益。也可以考虑这条法则的变化形式。沿用Hicks的方法，我们可以在 期望收益里加入一个风险变量，或者我们可以让资产化的特定证券收益的比率随 风险而变化。有关投资者要（或应该）最大化被折现的收益的假设（或准则）必须要舍弃。 如果我们忽视市场的缺陷，那么前面这条法则不会提示我们有比非分散化资产组 合更好的分散化投资组合。分散化投资组合是可观测和理解的；一条法则如果不 能很好的提示出最优的分散化策略那么就不能被当作一条假设或是一条

3、准则。无论期望收益是怎么形成的，无论不同证券是否使用相同的或不同的折现 率，无论这些折现率是怎么确定的或者随时间如何变化，上述法则都不会得出分 散化的结论。假设都会得出投资者把他们的基金都放在了能得到最大的折现价值 的证券上。如果两个或更多的证券都有相同的价值，那么他们中的任何一个或者 他们之间的组合都有相同很好的价值。我们可以这样分析：假设有n种证券，r表示在t时间投资于证券i每美 元的期望收益（无论其如何确定），d表示第i个证券在时期t的回报折现为现 值的比率，X.表示投资于证券i的相对数量。我们规定不允许卖空，因此，对所 有的i有X.大于等于0。资产组合的折现预期收益为：drttXco瓦

4、=a”:J】 是第i个证券的折现收益，因此，R = X%，这里Ri与独立。因为对所有的i有x.大于等于0并且三，所以R是以非负的Xi为权数的的加权平均。为了最大化R,我们对最大的i取=1。如果某些X % = 1R，a=1，K最大，那么只要满足J都可以最大化R。分散化的资产组合肯定未必优于所有的非分散化组合。为方便起见，在此考察静态模型。我们不说第i个证券回报的时间序列（七，.，七，），而代之以第i个证券的“回报流”（七）。资产组合整体的回报流是。在动态情况下，如果投资者希望最大化资产组合“期 望”回报，他会将所有的资金投入具有最大期望回报的证券。同时满足投资者应当分散化投资和应当最大化期望回报

5、的准则是存在的。该 准则是说投资者采取（或者应当采取）将其资金分散在所有提供最大期望回报的 证券上面。大数法则确保资产组合的真实收益几乎与期望收益相同5。该定式是 期望回报一回报方差准则（下面即将表述）的特例，它假设存在期望回报最大并 且方差最小的资产组合，这一组合正好适合投资者。将大数法则用于资产组合的假设是不正确的。证券回报的关联性太强，分散 化就不能抵消所有的方差。具有最大期望回报的资产组合不一定具有最小方差。存在一个投资者可以在 控制方差的前提下获得期望回报，或者在放弃期望回报的前提下减少方差的比 率。我们已经看到期望回报或预期回报准则是不合适的。我们考察期望回报-回 报方差（E-V）

6、准则。首先，必须给出一些数理统计的基本概念和结果，接下来 我们揭示E-V准则的含义，随后我们讨论其合理性。我们力图避免复杂的数学表述和证明，严格而且一般性的讨论需要花费一定 的代价。由此形成的主要局限有：（1）我们并非从分析n种证券的情况，而是以 几何方式分析3到4种证券得到结果；（2）我们假设静态的概率信念。在一般情 况下，我们必须认识到各种证券收益的概率分布是时间的函数。作者力图在将来 探讨一般性的数学处理，以消除这些局限。我们需要下列数理统计学的基本概念和结论。Y是随机变量，即其值是偶然性确定的变量。为简化计，设Y可以取有限个 值y ,y,y .Y=y的概率为p，Y=y的概率为p等等。Y

7、的期望值（均值）定 、12,N1122义为：8 =力北+例光+少打;XnY的方差定义为：置=夕】（为一 E）+内（外一 / + ,+方*（关一正）V是Y与其期望值的平均平方偏差。V一般用于测度分散程度，其他与V有 关的测度分散程度的是标准差。二一和方差系数。/E。假设我们有一列随机变量R1，R2,Rn，如果R是Ri的加权和（线性组合）：R = ai7?i 4-十.+ OnRn那么R也是随机变量。（例如，R1为占1个单位的数，R2为占另一个单位的数，R 为这些数的和。在这种情况下，n=2, a=a=1）。加权和的期望值是期望值的加权和。即E（R） = u函）+如顼艮）+ anERn）。加权和的方

8、差 并不同样简单，为了表述它，我们必须定义“协方差”。R1和R2的协方差为 m =就【丑1一归成】）R E （磴）】。即R1与其均值的差乘以R2 与其均值的差的期望值。一般地，我们定义R.和R的协方差为=ESE ）o ij可以用熟悉的相关系数（p Q来表示。R.和Rj的协方 差等 于它们的相关系数乘以R.的标准差再乘以R.的标准差：。加权和的方差为jNN NV（R）=、即：）+2工凶口1=t=i ii如果我们运用R.的方差为。.的事实，那么,v1115 =云虹心心1=1 ?=iR为第i个证券的回报，四为R的期望值；。为R和R的协方差（因此o为R 1的方差），X.为配置到第i个证券上的投资者资产

9、的比例。资产组 合整体的收益（R）为：1R= kx、将R （以及R）作为随机变量，X不是随机变量，由投资者决定。因为X是 111比例，我们有艺Xi= L。在我们的分析中，我们将不考虑的负值（即卖空）， 因此对所有的1，X=0。万差是：资产组合整体的回报（R）是随机变量的加权和（投资者可以选择权数）。从 我们对加权和的讨论看出资产组合整体的期望回报E是：N Nj i对固定的主观概率（四，。.），投资者所选择E和V的各种组合决定于选定 资产组合的X，X，X。设所有可行（E，V）组合集如图1所示。E-V准则 得出投资者将（或者应当寸希望选择这些组合中最富有效率的一个，也就是给定 E或者更大时V最小，

10、以及给定V或更小时E最大。给定四和。时，计算有效资产组合和有效（E, V）组合集的技术是存在的。 在这里我m不给出这些技术。但是，我们以几何方法表示当n （可选证券数）较 小时有效平面的性质。有效平面的计算可能会有实际的用途。或许存在着通过将统计技术和专家判 断相结合形成合理的主观概率（四，。）的方法，我们将利用这些主观信念计 算可行的有效组合（E，V）。投资者在知道哪些（E，V）组合是可行的之后，能 够描述他所希望获得的组合。我们能够找到获得这一希望组合的资产组合。在按照上述方式将有效平面运用于实践时，必须至少满足两个条件。首先， 投资者必须依照E-V矩阵采取行动。其次，我们必须达到合理的四

11、i和。i j。 我们随后将回到这些主题上来。让我们考虑三只证券的例子。在三只证券的情况下，我们的模型减少为：1）2）V=3）1）X，0 for /=1,2,3.From （3） we get3，）X，= l Xi Xe如果将（3）代入（1）和（2）,我们得到E和V的用X和X表示的函数形 式。例如，我们发现：121。 = #3 + （的口3）十 Xg（N?伽）在这里，精确的公式并非十分重要（V在下面给出）。我们可以简化写做：a）R =月（乂. X。）b）V =矿* &）/；）xQo, mo； 1- X】一qo利用关系式（a）、（b）、（c），我们用二维几何来表示。资产组合可行集由所有满足约束（c

12、）和（3）（或等价地（3）和（4）的 组合构成。X 1和X 2的可行组合由图2中的三角形acb来表示。X2轴左边的任 何点都是不可行的，因为不满足X1=0的条件。X1轴下边的任何点都是不可行的， 因为不满足X2=0的条件。直线（1-X-X2=0）上方的任何点都是不可行的，因为 不满足X =1 -X -X大于等于0的条件。我衍将给定期望回报时所有点（资产组合）构成的集合定义为“等均值”线。 同样，将给定回报方差时所有点构成的集合定义为“等方差”线。考察E和V的方程，我们知道等均值线和等方差线的形状。具体而言，一般 情况下9等方差线是一簇平行直线；等方差线是一簇同心椭圆（参见图2）。例 如，如果昭

13、不等于启，方程1可以写做熟悉的形式X2=a+bX1，具体而言（1）IV _ E 一心-3 V2 r 1- 牙 1 4仞一物陶一伽因此E = E 0时，等均值线的斜率为-（四1-四3） / （四2*3），截距为（E0-启） / （昭-四3）。如果我们改变E，截距会改变但是等均值线的斜率不会改变。这就 确定了等均值线构成一簇平行直线的结论。同样地，通过简单地应用几何分析，我们确定等方差线构成一簇同心椭圆。 曲线簇的“中心”是最小化V的点，我们将该点标记为X，将它的期望回报和方 差标记为E和V。偏离X越远时，方差会增加，更精确地讲，如果一条等方差线 C 1较另一条C 2更接近X，那么C 1的方差就小

14、于C 2的方差。利用前述几何工具，我们来求解有效集合。等方差椭圆簇的中心X可能落在可行集之内或之外。图4显示了一个X落在 可行集之内的例子，在这种情况下X是有效的。不存在V小于X的其它资产组合; 因此不存在具有更小的V（E相同或更大时）或者在V相同或更小时具有更大的 E的资产组合。不存在期望回报E小于有效E的点（组合），因为我们有EE和 VV。考虑给定期望回报E的所有点，即所有在E的等均值线上的点。等均值线上 V取最小值的点是等均值线与一条等方差线相切的点，我们称该点为” X（E）。 我们让E变动，X（E）的轨迹构成一条曲线。代数推导（我们在此略去）显示该曲线为一条直线，我们称之为临界线 （c

15、ritical line）1。临界线通过X，因为该点在所有满足E（XI，X2）=E的点 中使得V最小。从X沿着1的任何方向，V都将递增。在临界线上从X到临界线 通过可行集边界点的线段构成有效集的一部分，有效集的其余部分（在所显示的 情况下）是ab直线上从d到b的线段。b是可行的E最大的点。在图3中，X 位于有界域之外，但是临界线与有界域相交。有效直线的端点是具有最小方差的 可行点（在这种情况下在ab直线上）。它向b点延伸到与临界线相交，沿着临界 线延伸到与边界相交并最终沿着边界达到b。读者可能希望构建并观察到下列情 况：（1）X位于可行集之外并且临界线不与可行集相交。在这种情况下，存在一 只不会包括在任何有效组合当中的证券。（2）两只证券具有相同的P i。在这种 情况下，等均值线与边界线平行。可能会发生具有最大E的有效组合是分散化组 合的情况。（3）仅有一个组合是有效的情形。aHomobJe MtD肝Man讶 incminrig Flpvrflo丘FrEon cf Jrtcrdiirtg E depend* on Fh F.,