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1、【学习目标】2.61双曲线的性质-y，方程都不变，所以双曲线1 (a 0, b 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质 为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。2. 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3. 能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质顶点 双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。2 2 双曲线刍 爲 1 (a 0 , b 0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为a bA1 (-a , 0), A2 (a , 0),顶点是双曲线两支上的
2、点中距离最近的点。 两个顶点间的线段 A1A2叫作双曲线的实轴；设 B1 (0 , -b ), B2 (0 , b)为y轴上的两个点，则线段的简单几何性质B1 B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a , |B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 双曲线的焦点总在实轴上。 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率范围2Q 21 即 x2 a2ax a 或 xa 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 因为ca0,所以双曲线的离心率 e -1。a由 c2=a
3、2+b 2,可得一a.e21，所以-决定双曲线的开口大小,a双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足e表示，记作e越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线a b，所以离心率e . 2。2c2aK一越大，e也a渐近线x w-a 或 xa.对称性对于双曲线标准方程2x2a2占 1 (a 0, b 0),把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、b经过点A2、A1作y轴的平行线x= a,经过点B1、B2作x轴的平行线y= b ,四条直线围成一个矩形 (如K图)，矩形的两条对角线所在直线的方程是
4、y - x。a标准方程2 2；2 t 0，b。)2 2予肖1(a 0,b 0)图形k/bA2rb 0 , ca 0,且c2=b 2+a 2。2 2X y双曲线 乏1 (a 0,b0)，如图：a b22【解析】把方程化为标准方程1，由此可知实半轴长a 3，虚半轴长b 4 ,.c . a2 b2 5916(0, 3), (0,3)，焦点坐标(0, 5), (0,5),c 5离心率e -，渐近线方程为ya 3何量也有不同的表示 举一反三:f y找JA/Jk 1【变式1】双曲线mx2 + y2 = 1的虚轴长是实轴长的【答案】A【变式2】已知双曲线8kx 2 ky2=2的一个焦点为A . 2 B. 1
5、C. 1 D.2倍，贝U m等于()1D.4(0,-)，则 k2的值等于(1) 实轴长IAA2I 2a，虚轴长2b,焦距IRF2I 2c ,(2) 离心率：e四四皿迪疋e 1 ；| PMi| PM2I | AiKi |几&|a Ya2(3) 顶点到焦点的距离：AIF1 A2F2 ca, AF2 A2F1ac；(4) PF1F2中结合定义PRPF2I2a与余弦定理，将有关线段PR、PF2、F1F2和角结合起来(5) 与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理(或勾股定理)、:1角形面积公式 SPF1f2 - PF1 PF2 sin F1PF相结合的方法进行计算与解题
6、，将有关线段PR、PF22F1F2，有关角 F1PF2结合起来，建立PR PF2、 PF1 PF2之间的关系.【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2已知双曲线方程，求渐近线方程。2(1 )9【解析】216(2)2_y_16-1(1)双曲线2工161的渐近线方程为:2_y_16【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质2 2例1 .求双曲线16x 9y 144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率(2)双曲线2 2 2L916-1的渐近线方程为:216【总结升华】双曲线2 x 2 a21( a 0, b b0)的渐近线方程为Kx，双曲线a2_y_2a2x21的渐近线方b2ba程为x
7、 y，即y x；若双曲线的方程为ab2 y z n(m、n 0,0，焦点在x轴上,当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为2x焦点在y轴上），则其渐近线方程为2m举一反三:由题意，得a（2a433)2(2、. 3)2解得a2【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程所以双曲线的方程为b2-,b2444x292y42(1 )162y36(2)2 2x 2y2x272当焦点在y轴上时,设双曲线的方程为2y2a【答案】（(3)【变式2】(2015北京）已知双曲线2 x 2 a1(a0）的一条渐近线为3xy 0，则a 4由题意，得b 322(2( 3)2b2，解得14 , b2-(舍去)4【答案】334x2综上
8、所得，双曲线的方程为 92y4【解析】瀚进线为3x有2.3, 由双曲线的方程Aa2y 1 得 b=1，且a 0 所以2 x 解法二：设所求双曲线方程为-2y160),.3a3将点（3, 3）代入得【变式3】（2016北京文）已知双曲线2b 1 （a0,b0）的一条渐近线为2x+y=,一个焦x2所以双曲线方程为-9y2164x2（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是点为（J5 ,0），则a=c 5【答案】依题意有b ，结合c2=a2+b2，解得a=1 , b=2。2ax2故设双曲线方程为-4例3.根据下列条件，求双曲线方程。2 2 _与双曲线即和1有共同的渐近线，且过点（32 3）；（2）渐近线方
9、程为 3x 2y 0，且双曲线过点 M（8,6-3）【解析】（1）解法点M （8,6、3）在双曲线上,蛍(6乜)249所求双曲线方程为，解得2x_162y36【总结升华】求双曲线的方程，关键是求在解题过程中应熟悉各元素（b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程ax by 0 ,可设双曲线方程为2 2x y例4.已知F1,F2是双曲线 p 21(a b 0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支a ba2x2 b2y2(0)交于A、B两点,若 ABF2是正三角形，求双曲线的离心率。举一反三:【解析】：厅芾2| 2c , ABF2是正三角形,【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，条渐近线为y
