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1、时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真摘 要 时域有限差分法是由有限差分法发展出来的数值计算方法。自1966年Yee在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。主要有分析辐射条线、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面计算、分析周期结构、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲的传播和散射以及在地面的反射及对电缆传输线的干扰、微光学元器件中光的传播和衍射特性等等。由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。时域有限差分法就是实
2、现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。 文中主要谈到了关于高斯制下完全匹配层的差分公式的问题，通过MATLAB程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。得到了相应的磁场幅值效果图。关键词：时域有限差分 完全匹配层 MATLAB 磁场幅值效果图目 录摘 要1目 录2第一章 绪 论31.1 课题背景与意义31.2 时域有限差分法的发展与应用32.1
3、Maxwell方程和Yee氏算法62.2 FDTD的基本差分方程82.3 时域有限差分法相关技术102.3.1 数值稳定性问题102.3.2 数值色散112.3.3 离散网格的确定122.4 吸收边界条件122.4.1 一阶和二阶近似吸收边界条件132.4.2 二维棱边及角顶点的处理162.4.3 完全匹配层182.5 FDTD计算所需时间步的估计22第三章 MATLAB的仿真的程序及模拟243.1 MATLAB程序及相应说明243.2 出图及结果273.2.1程序部分273.2.2 所出的效果图28第四章 结 论30参考文献31第一章 绪 论1.1 课题背景与意义20世纪60年代以来，随着计
4、算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法逐步发展起来，并得到广泛应用，其中主要有：属于频域技术的有限元法（FEM）、矩量法(MM)和单矩法等；属于时域技术方面的时域有限差分法(FDTD)、传输线矩阵法(TLM)和时域积分方程法等。此外，还有属于高频技术的几何衍射理论(GTD)和衍射物理理论(PLD)等。各种方法都具有自己的特点和局限性，在实际中经常把它们相互配合而形成各种混合方法12。其中FDTD是一种已经获得广泛应用并且有很大发展前景的时域数值计算方法。时域有限差分（FDTD）方法于1966年由K.S.Yee3 提出并迅速发展，且获得广泛应用。K.S.Yee用后来被称作Yee氏网格的空间离散
5、方式，把含时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分方程，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应。但是由于当时理论的不成熟和计算机软硬件条件的限制，该方法并未得到相应的发展。20世纪80年代中期以后，随着上述两个条件限制的逐步解除，FDTD便凭借其特有的优势得以迅速发展。它能方便、精确地预测实际工程中的大量复杂电磁问题，应用范围几乎涉及所有电磁领域，成为电磁工程界和理论界研究的一个热点。目前，FDTD日趋成熟，并成为分析大部分实际电磁问题的首选方法。另外，利用矩量法求解电磁场问题时，要用到并失Green函数。对于某些问题，可以找到其解析形式的并失Green函数；而对于复杂的问题，很难找
6、到其解析形式的并失Green函数，这样就使得问题无法解决。作为时域分析中的一个重要数值方法，FDTD不存在这样的问题。1.2 时域有限差分法的发展与应用经过四十多年的发展，FDTD已发展成为一种成熟的数值计算方法。在发展过程中，几乎都是围绕几个重要问题展开的，即数值稳定性、计算精度、数值色散、激励源技术以及开域电磁问题的吸收边界条件等。数值稳定和计算精度对任何一种数值计算方法都是至关重要的。A.Taylor和M.E.Brodwin4利用本征值方法给出了直角坐标系下FDTD的空间步长与时间步长之间的关系。X.Min等5研究了存在边界条件时FDTD的稳定性问题。对于数值色散，与实际的物理色散不同，
7、它是由电磁场量在空间和时间上的对波动方程作差分近似处理造成的。这种色散引起的误差造成在计算区域内传播的电磁波逐渐畸变67。K. L. Shlager 等8比较了二维和三维空间中几种正交网格算法的色散误差。当采用其他变形或非正交网格时，必须重新分析其数值稳定性和色散特性911，P.Monk 和 E.Suli12分析了不均匀长方体网格算法的稳定性。激励源的设计和引入也是FDTD的一个重要任务。目前，应用最广泛的激励源引入技术是总场/散射场体系12。对于散射问题，通常在FDTD计算空间中引入连接边界，它将整个计算空间划分为内部的总场区和外部的散射场区，如图1-1。利用Huygens原理，可以在连接边
8、界处引入入射场，使入射场的加入变得简单易行。图1-1开域电磁问题中，为了在有限的计算空间内模拟无限空间中的电磁问题，必须在计算空间的截断边界处设置吸收边界条件。吸收边界条件从开始简单的插值边界，已经发展了多种吸收边界条件。在早期得到广泛应用的是G.Mur13的一阶和二阶吸收边界条件，它是基于B.Engquist和A.Majda14的单向波方程而提出的差分格式，在FDTD仿真区域外边界具有0.5%到5%的反射系数。目前应用最广泛的是J.P.Berenger15-17的分裂式完全匹配层，以及Z.S.Sacks等18和S.D.Gedney20的各向异性介质的完全匹配层，它们可使FDTD模拟的最大动态
9、范围达到80dB。另一方面，为了更好的拟合研究对象的形状，克服台阶逼近带来的误差，D.E.Merewether19提出了柱坐标系下的网格剖分方法，R.Holland20提出了球坐标系下的网格剖分方法，P.Monk和E.Suli12提出了变网格步长方法，S.S.Zivanovic等21和P.Thoma等22提出了亚网格技术（即在一般区域采用粗网格，在电磁场快变区域采用精细网格）。利用这些技术，可以更精确地模拟各种复杂的结构，适应各种复杂的介质，提高了复杂介质中数值计算的精度。时域模拟一般获得的是近场电磁信息，为了得到诸如天线方向图或散射体雷达散射截面之类的远场信息，必须获得计算区域以外的频域场或
10、瞬态场。多位学者在这方面做了许多工作，发展了一种高效的时域近远场变换方法23-26。借助这种方法，可以实现由计算区域内近场数据到计算区域外远场数据的外推。目前，粗糙面散射的FDTD，传递函数在FDTD中的应用，周期介质、各向异性介质、色散介质和含有集中元件的FDTD，以及网络并行FDTD技术等方面也取得了很大进展。FDTD在迅速发展的同时，也获得了非常广泛的应用。目前，它几乎被应用到了电磁场工程中的各个方面，例如：电磁散射、生物电磁计量学、辐射天线的分析、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面的计算、周期结构的分析、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲传播和散射的分析、以及微光学元器件中光
11、的传播和衍射特性的分析等。随着新技术的不断提出，其应用范围和成效正在迅速地扩大和提高。第二章 时域有限差分法的基本原理Maxwell方程是描述宏观电磁现象的一组基本方程。这组方程即可以写成微分形式，又可以写成积分形式。FDTD方法由Maxwell旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。2.1 Maxwell方程和Yee氏算法 根据27中电磁场基本方程组的微分形式，若在无源空间，其空间中的媒质是各向同性、线性和均匀的，即媒质的参数不随时间变化且各向同性，则Maxwell旋度方程可写成： （2-
12、1a） （2-1b）式中，是电场强度，单位为伏/米（V/m）；是磁场强度，单位为安/米（A/m）；表示介质介电系数，单位为法拉/米（F/m）； 表示磁导系数，单位为亨利/米（H/m）；表示介质电导率，单位为西门子/米（S/m）；表示导磁率，单位为欧姆/米（）。在直角坐标系中，（2-1）式可化为如下六个标量方程： （2-2） （2-3）这六个偏微分方程是FDTD算法的基础。 K.S.Yee3在1966年建立了如图2-1所示的空间网格，这就是著名的Yee氏元胞网格。图2-1 Yee氏网格及其电磁场分量分布并引入如下的差分近似方法对（2-2）、(2-3)式中的六个偏微分方程进行了差分离散。令代表或在
13、直角坐标系中某一分量，在时间和空间域中的离散可记为 (2-4)式中，、和分别是长方体网格沿x、y、z方向的空间步长，是时间步长，i、j、k分别是沿x、y、z方向的网格编号，n是时间步数。对关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，具有二阶精度，即 (2-5a) (2-5b) (2-5c) (2-5d) 在FDTD中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图2-1所示。由图可见，电场和磁场分量在空间交叉放置，使得在每个坐标平面上每个电场分量被磁场环绕，每个磁场分量也被电场环绕。这种电磁场的空间结构与电磁感应和电磁波传播的规律相符，在每一个网格单元都能满足法拉第感应定律和安培环流定律。各分量
14、的空间相对位置也适合于Maxwell方程的差分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。同时，电场和磁场在时间上交替抽样，抽样时间间隔相差半个时间步，使Maxwell旋度方程离散以后构成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行矩阵求逆运算。因此，由给定相应电磁问题的初始条件，FDTD就可以逐步推进地求得以后各个时刻空间电磁场的分布。2.2 FDTD的基本差分方程根据上述原则，可将（2-2）、（2-3）式离散为如下的差分方程形式： （2-6a） (2-6b) (2-6c) (2-6d) (2-6e) (2-6f) 式中， (2-7a)， (2-7b)(2-6)式就是FDTD的基本差分方程组。从式中可以看出，方程组中含有半个空间步和半个时间步，为了便于编程，可将（2-6）式改写成如下形式28：(2-8a)(2-8b)(2-8c)(2-8d)(2-8e)(2-8f)根据上述FDTD差分方程组可得出计算电磁场的时域推进计算方法，如图2-2所示。已知t1=t0= 0时刻空间各处的电磁场初始值计算t2=t1+ 时刻空间各处的磁场值计算t1=t2+ 时刻空间各处的电场值循环n次 图2-2 FDTD在时域的交叉半
