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1、 锐角的三角比 知识讲解【学习目标】1结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2会推算30、45、60角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3理解并能熟练运用“同角三角函数的关系及“锐角三角函数值随角度变化的规律.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如下图，在RtABC中，C90，A所对的边BC记为a，叫做A的对边，也叫做B的邻边，B所对的边AC记为b，叫做B的对边，也是A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即；锐角A的
2、邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA，即.同理；要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2)sinA，cosA，tanA，cotA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，不能理解成sin与A，cos与A，tan与A，cot与A的乘积书写时习惯上省略A的角的记号“，但对三个大写字母表示成的角(如AEF)，其正切应写成“tanAEF，不能写成“tanAEF；另外，、常写成、(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在(4)
3、由锐角三角函数的定义知：当角度在0A90间变化时，tanA0 cotA0.要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30、45、60角的各三角函数值，归纳如下：锐角cot30451160要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30、45、60角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：假设，那么锐角(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、的值依次为、，而、的值的顺序正好相反，、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)要点三
4、、锐角三角函数之间的关系如下图，在RtABC中，C=90(1)互余关系：，；tanA=cot(90-A)=cotB , tanB=cot(90-B)=cotA.(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商的关系：要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1如下图，在RtABC中，C90，AB13，BC5，求A，B的正弦、余弦、正切、余切值【答案与解析】在RtABC中，C90 AB13，BC5，；，【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值
5、举一反三：【变式】在RtABC中，假设a=3，b=4，那么，【答案】5，类型二、特殊角的三角函数值的计算2求以下各式的值： (1)sin30-2cos60+cot45； (2)； (3)【答案与解析】(1)原式； (2)原式； (3)原式【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进展化简举一反三：【变式】在RtABC中，假设A=45，那么，【答案】45，类型三、锐角三角函数之间的关系3(1)求锐角； (2)求锐角【答案与解析】(1)先将方程变形后再求解 锐角=30(2)先将方程因式分解变形 锐角=45【总结升华】要求等式中的锐角，只需求得这个
6、角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的解(值)，然后再求这个锐角类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4如下图，AB是O的直径，且AB10，CD是O的弦，AD与BC相交于点P，假设弦CD6，试求cosAPC的值【答案与解析】连结AC， AB是O的直径，ACP90，又BD，PABPCD，PCDPAB， 又 CD6，AB10，在RtPAC中， 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB是O的直径得ACB90
7、，PC、PA均为未知，而CD6，AB10，可考虑利用PCDPAB得5通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)如图1，在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解以下问题：(1)sad60_(2)对于0A180，A的正对值sadA的取值围是_(3)如图1，sinA，其中A为锐角，试求sadA的值【答案与解析】(1)1； (2)0sadA2；(3)如图2所示，延长AC到D，使ADAB，连接BD设ADAB5a，由得BC3a， CD5a-4aa，【总结升华】(1)将60角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA1；(2)在图中设想ABAC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当A接近0时，BC接近0，那么sadA接近0但永远不会等于0，故sadA0，当A接近180时，BC接近2AB，那么sadA接近2但小于2，故sadA2；(3)将A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解 /
