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1、第一章 离散随机信号统计分析基础 本章的目的是对随机信号做一个简短的回顾，并且介绍一些在以后各章中我们将要用的概念。1.1 随机信号1.1.1 随机变量 由概率论可知，我们可以用一个随机变量X来描述自然界中的随机事件，若X的取值是连续的，则X为连续型随机变量（注：本章随机变量和随机信号用大写外文符号表示，如X，Y等，随机信号的一次实现仍用小写外文符号表示，如xi(t),x(n,i)等）。若X的取值是离散的，则X为离散型随机变量，如服从二项式分布、泊松分布的随机变量。对随机变量X，我们一般用它的分布函数、概率密度及数字特征来描述：概率分布函数(1.1.1）概率密度(1.1.2)均值(1.1.3)
2、均方值(1.1.4)方差(1.1.5)式中E 表示求均值运算。两个随机变量X、Y，其联合概率密度为p(x,y)，其协方差函数(1.1.6)例如，一个均匀分布的随机变量X的取值范围若是b,a，则其概率密度(1.17)若X服从高斯分布，则其概率密度(1.1.8)N个实随机变量X=x1, x2, xNT的联合高斯分布的概率密度(1.1.19)式中(1.1.10a)(1.1.10b)分别是X的均值向量和协方差矩阵。若x1, x2, xN之间是相互独立的，则上述的方差阵将变成对角阵。 随机变量X的均值称为X的一阶矩，方差称为二阶中心矩，均方值称为二阶原点矩。若X1,X2，X3及X4都是零均值高斯随机变量
3、，可以证明，其四阶矩：(1.1.11)我们在后面将用到这一关系。 以上有关随机变量的描速方法可推广到随机信号。1.1.2随机信号现在让我们观察一个晶体管直流放大器的输出。当输入对地短路时，其输出应为零。但是由于组成放大器各元件中的热噪声致使输出并不等于零，产生了“温漂”。该温漂电压就是一个随机信号。也即，当我们在相同条件下独立地进行多次观察时，各次观察到的结果彼此互不相同。既然如此，为了全面地了解输出噪音的特征，从概念上讲，我们应该在相同的条件下，独立地做尽可能多次的观察，这如同在同一时刻，对尽可能多的同样的放大器各做一次观察一样。这样，我们每一次观察可以得到一个记录1,2,N, N。如图1.
4、1.1所示。图1.1.1 晶体管直流放大器的温漂电压如果我们把对温漂电压的观察看作为一个随机试验，那么，每一次的记录，就是随机试验的一次实现，相应的结果就是一个样本函数。所有样本函数的集合1,2,N, N，就构成了温漂电压可能经历的整个过程，该集合就是一个随机过程，也即随机信号，记之为X(t)。概括这个概念：一个随机信号（或序列）是一个随机过程，在它的每个时间点上的取值都是随机的，可用一个随机变量表示，或者说，一个随机过程是一个随机试验所产生的随机变量依时序组合得到的序列。对一个特定的时刻，例如，显然，是一个随机变量，它相当于在某一固定的时刻同时测量无限多个相同放大器的输出值。当，时，也是一个
5、随机变量。因此，一个随机信号X(t)是依赖时间t的随机变量。这样，我们可以用描速随机变量的方法来描述随机信号。当t在时间轴上取值时，我们可得到m个随机变量，显然，描述这m个随机变量最全面的方法是利用其m维的概率分布函数（或概率密度）：(1.1.12)当m趋近无穷时，(1.1.12)式完善地描述了随机信号X(t)。但是，在工程实际中，要想得到某一随机信号的高维分布函数（或概率密度）是相当困难的，且计算也十分繁琐。因此在实际工作中，对随机信号的描述，除了采用较低维的分布函数（如一维和二维）外，主要是使用其一阶和二阶的数字特征。 对图1.1.1中的随机信号X(t)离散化，得离散随机信号X(nTs)(
6、以下简记为X(n)。对X(n)的每一次实现，记x(n,i), i=1,2,N, 显然，对某一固定时刻，如时，构成一个随机变量。若随i的变化仍连续取值，那么是连续型随机变量，否则，为离散型随机变量。 显然，X(n)的均值、方差、均方值等一、二阶数字特征均应是时间n的函数，即：（1）均值（数学期望） （1.1.13）（2）方差(1.1.14)（3）均方值(1.1.15)（4）自相关函数(1.1.16)（5）自协方差函数 (1.1.17)（1.1.13）（1.1.17）式右边的求均值运算E体现了信号的“集合平均”，该集合平均是由X(n)的无穷样本在相应时刻对应相加（或相乘后再相加）来实现。 随机信号
7、的自相关函数描述了信号X(n)在这两个时刻的相互关系，是一个重要的统计量。若，则 对两个随机信号X(n), Y(n)，其互相关函数和互协方差函数分别定义为：（6）互相关函数 （1.1.18）（7）互协方差函数(1.1.19)如果，我们称信号X和Y是不相关的。因为所以，若X, Y不相关，必有1.2 平稳随机信号的时域统计表达1.2.1 平稳随机信号的定义 一个离散随机信号X(n)，如果其均值与时间n无关，其自相关函数和的选取无关，而仅和之差有关，那么，我们称X(n)为宽平稳的随机信号，或广义平稳随机信号。即： 均值（数学期望）(1.2.1) 自相关函数(1.2.2) 方差(1.2.3) 均方值(
8、1.2.4) 自协方差函数 (1.2.5) 两个平稳随机信号X(n), Y(n)的互相关函数和互协方差函数分别定义为： 互相关函数(1.2.6) 互协方差函数(1.2.7) 宽平稳随机信号是一类重要的随机信号。在实际工作中，我们往往把所要研究的随机信号视为宽平稳的，这样将使问题得以大大简化。实际上，自然界中的绝大部分随机信号都认为是宽平稳的。今后我们所提到的平稳随机信号如不特别说明，均认为是宽平稳随机信号。严（或狭义）平稳随机信号是指概率特性不随时间的平移而变化（或说与时间基准点无关）的随机信号。只有当X(n)是高斯随机过程时，宽平稳才是严平稳。1.2.2 平稳随机信号相关函数的性质 平稳随机
9、信号的相关函数有许多重要的性质，现列写如下：性质1 (1.2.8)性质2 若X(n)是实信号，则，即为实偶函数；若X(n)是复信号，则。即是Hermitian对称的。性质3 。 若X(n), Y(n)是实信号，则，该结果说明，即使X(n), Y(n)是实的，也不是偶对称的。性质4(1.2.9)性质5 由这2M+1个自相关函数组成的矩阵(1.2.10)是非负定的。现证明性质5：设是任一个(M+1)维非零向量，由于故性质5成立（式中上标H代表共轭转置） 称为Hermitian对称的Toeplitz矩阵。若X(n)为实信号，那么，则的主对角线及与主对角线平行的对角线上的元素都相等，而且各元素相对主对
10、角线是对称的，这时称为实对称的Toeplitz矩阵。 由自相关函数和自协方差函数的定义可得： (1.2.11)当时，相关序列和协方差序列相等(1.2.12)即自相关函数和自协方差函数只差一个常数，其它特性相同。 对于实际上遇到的许多随机过程，当m愈大则相关性愈小，m趋于无穷大时，可以认为不相关。因此有(1.2.13)(1.2.14)(1.2.15)(1.2.16)由自相关函数和自协方差函数的性质可得到图1.2.1(a) 的特性 (b) 的特性 图1.2.1 相关函数特性是一个随机过程X(n)最主要的统计表征，它不仅说明了相关性，并且蕴涵其它主要特征量，如(1.2.17)例1.2.1 随机相位正
11、弦序列式中A,f均为常数，是一随机变量，在02内服从均匀分布，即显然，对应的一个取值，可得到一条正弦曲线（因为在02内的取值是随机的，所以其每一个样本x(n)都是一条正弦信号）。求其均值及其自相关函数，并判断其平稳性。解 由定义，X(n)的均值和自相关分别是：由于及所以随机相位正弦波是宽平稳的。例1.2.2 随机振幅正弦序列如下式所示：式f中为常数，A为正态随机变量，A：N（0，2），试求X(n)的均值、自相关函数，并讨论其平稳性。解 均值对于给定的时刻n，为一常数，所以自相关函数由此可以看出，虽然X(n)的均值和时间无关，但其自相关函数不能写成的形式，也即和的选取位置有关，所以随机振幅正弦波
12、不是宽平稳的。1.2.3 平稳随机信号的各态遍历性 一个随机信号X(n)，其均值、方差、均方值及自相关函数等，均是建立在集合平均的意义上的，如自相关函数(1.2.18)为了要精确地求出，需要知道的无穷多个样本，即，这在实际工作中显然是不现实的。因为我们在实际工作中能得到的往往是对的一次实验记录，也即一个样本函数。 既然平稳随机信号的均值和时间无关，自相关函数又和时间选取的位置无关，那么，能否用一次的实验记录代替一族记录来计算的均值和自相关函数呢？对一部分平稳信号，答案是肯定的。 对一平稳随机信号，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，我们
13、则称为各态遍历信号。其意义是，单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样本函数的取值经历。这样，我们就可以仿照确定性的功率信号那样来定义各态遍历信号的一阶和二阶数字特征。 设是各态遍历信号的一个样本函数，对的数字特征可重新定义如下：(1.2.19)(1.2.20)上面两式右边的计算都是使用单一样本函数求出和，因此称为“时间平均”，对各态遍历信号，其一阶和二阶的集合平均等于相应的时间平均。例1.2.3 讨论例1.2.1随机相位正弦序列的各态遍历性。解 对，其单一的时间样本，为一常数，对作时间平均，显然由于上式是n对求和，故求和号中的第一项与n无关，而第二项应等于零，所以这和例1.2.1按集合平均求出的结果一样，所以随机相位正弦波既是平稳的，也是各态遍历的。例1.2.4 随机信号的取值在（-1，1）之间均匀分布，但对每一个样本，其值不随时间变化，如图1.2.2所示，试讨论其平稳性和各态遍历性。解 如图所示，显然的集合均值始终等于零，集合自相关也和的选取位置无关，因此它是宽平稳的。但对单一的样本，它的时间均值并不等于零，因此，不是各态遍历的。图1.2.2 例1.2.4中的X(n) 由上面的讨论可知，具有各态遍历性的随机信号，由于能使用单一的样本函数来做
