第三部分非线性分析第一章非线性有限元概述1.1非线性行为1、 非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化如果绘制一个非线性结构的 载荷一位移曲线，则力与位移的关系是非线性函数2、 引起结构非线性的原因：a几何非线性：大应变，大位移，大旋转 （例如钓鱼竿的变形）b材料非线性：塑性，超弹性，粘弹性，蠕变c状态改变非线性：接触，单元死活3、 非线性行为一一分析方法特点A不能使用叠加原理！B结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的C结构响应与施加的载荷可能不成比例1.2非线性分析的应用~~1、一些典型的非线性分析的应用包括:非线性屈曲失稳分析A金属成形研究B碰撞与冲击分析C制造过程分析（装配、部件接触等）D材料非线性分析（塑性材料、聚合物）E2、 橡胶底密封：一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶）， 及状态非线性（接触）的例子2・1非线性方程组的解法1、 求解一个结构的平衡问题通常等于 求解结构的总位能的驻值 问题结构总位能n： 口 "3弋门心2、 增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即ANSYS中的荷载步或荷载子步A要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前，刚度矩阵 调整 以反映结构刚度的变化。
B增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是极限值屈曲 分析）十分有用C增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载-位移曲线飘移D对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度应用最广的就是在每一级载荷增量 上用Newton-Raphsor或其变形的迭代法3、 迭代法：割线刚度法：收敛性差，因此很少应用切线刚度法Newto n-Ra phsor迭代法：切向刚度法中2.2 Newto n-Ra phsor迭代法1、 优点：对于一致的切向刚度矩阵有二次收敛速度2、 Newton-Raphson法迭代求解使用下列方程：｛Au｝ = ｛卩**｝-冋｝[KT]二切向刚度矩阵，｛u｝=位移增量｛Fa｝二施加的载荷矢量，｛Fnr｝=内力矢量3、Newton-Raphson法需要一个收敛的度量以决定何时结束迭代给定外部载荷（Fa）,内部载荷（Fnr）（由单元应力产生并作用于节点），在一个体F® 0中，外部载荷必须与内力相平衡 一 二 收敛是平衡的度4、切向刚度矩阵[KT]山四部分组成:㈣二[K 門+冏+阿-[K?][K門：主切向刚皮矩阵氏片：初始位移矩阵，考虑了与单元形状与位置改变 有关的刚度[1〈T：初始应力矩阵，考虑了与单元应力状态有关的刚度；它结合了应力刚化 效应.卩厂] ：初始栽羊命矩阵，考虑了与压力载荷取向改变有 关的刚度，取向改变 是由变形引起的，5、迭代中的Newton-Raphson不平衡量是：不平衡量R实际上从未真正等于零。
当不平衡量小到误差允许范围内时，可中止迭代，得 到平衡解6虽然使用一致切向刚度的Newt on-Ra phsor法具有平方的收敛速度，但它不能 保证一 定收敛！只有初始构形 在收敛半径以内，Newton-Raphson才可以保证收 敛否则， 发散7、Newton-Raphson 迭代法：A F.N.R: 缺点：消耗机时！ 优点：适用于高度非线性问题B I.N.R: 缺点：收敛性较差优点：消耗机时少C M.N.R: 优缺点介于前两者之间8、三种方法的比较：计算效率：I. N.R > M.N.R > F.N.R收敛性：F.N.R > M.N.R > I.N.R因此：当非线性程度不高（一般为加载初期）时用INR,当非线性程度较高（般为加载后 期）时用M.N.R或F.N.R2・3收敛准则1、Newton-Raphson迭代法的收敛判据：A位移/旋转增量准则：位移收敛准则有时不可靠！B力/力矩平衡准则：不平衡力收敛准则有时也不可靠！C能量准则（ansys中不使用，用户可自己定义）2・4载荷步、子步与平衡迭代步1、 载荷步：在ANSY中，结构上施加的载荷及边界条件由一系列定义的载荷步 来描述子步：给定载荷步中的载荷是逐步施加上去的 ，载荷的每个增量称之为子步。
平衡迭代步：每个子步中为得到收敛解而进行的迭代步2、 a每个载荷步与子步都与“时间”相关联子步也叫时间步B在率相关分析（蠕变，粘塑性）与瞬态分析中，“时间”代表真实的时间C对于率 无关的静态分析，“时间”表示加载次序在静态分析中，“时间” 可设置为任何适当的 值D建模技巧：在静态分析中，于绘制 时间”可设置为给定载荷的大小，这样将易 载荷—位移曲线2・5非线性求解控制选项1、 对于非线性分析，有三种方程求解器供选择： Sparse、波前求解器、PCG2、 梁/壳模型，或梁/壳/实体模型：使用sparse求解器常重新泄义的高级求解控制;■方程求解器 ■渐变式或阶跃加载 ■时间步预测 ■关闭自动时间歩■平衡迭代数■收散判据通常不重新设H的高级求解 控制：Newtoo-Raphson 选项 线性搜索预测 自适应下降关闭应力刚 化二分控制时间积分 效应求解结束控制三维实体模型（Solid92或Solid45 ），自由度数相对较大（>100,000 ）:使 用PCG求解器病态问题或单元刚度矩阵带宽大 （包含在输出文件中）：使用 sparse 求解器 非对称 矩阵：使用 sparse 求解器注意：如果可使用并行处理，波前求解器可能比 sparse 求解器速度快，因为波 前求解器 对并行计算进行了优化3、 收敛判据一一收敛范数：L1范数，L2范数，无限范数L1 范数:用不平衡量绝对值的和与收敛判据作对比。
L2 范数：用力不平衡量的 SRSS （平方和的平方根） 无限范数:检查所有自由度的最大不平衡量此选项的作用是为收敛独立检查模 型的每 个自由度4、 若响应平稳且时间步长适当小，预测可以加速收敛B 若响应不平稳或分析中涉及大旋转，预测可能导致发散！C 对大旋转分析不要使用预测5、 线性搜索是一个非常强大的改进收敛工具2・6非线性求解过程1、 完成非线性分析所需的典型步骤：a. 指定分析类型b. 指定几何非线性打开或关闭c. 为载荷步指定“时间”d. 用 NSUBS 或 DELTIM 设定子步数e. 施加载荷与边界条件f. 指定输出控制与监视值g. 保存数据库h. 求解载荷步2、 最大子步数（Nmax ）:通过最小时间步长确定子步的 最小子步数（Nmin ）:通过最大 时间步长确定子步的3、 如果当载荷移走后，输入系统的能量能恢复，此系统是保守的如果系统能 量耗散 了，则此系统是非保守的保守系统的分析与路径无关，载荷可以按任意顺序施加非保守系统的分析与路 径是相关 的，必须根据实际载荷加载历史施加第二章结构稳定性 3.1结构稳定性基本知识1、非线性载荷位移曲线:理想的加载路径 非理想结构的加载路径 结构的动态响应3.2结构稳定性分析方法：1、计算结构的静态力-位移响应不同的分析技巧：载荷控制、位移控制、弧长法载荷控 制：在Newton-Raphson法中使用载荷控制的困难：求解无法越过不稳定 点 在不稳定点（Fcr），刚度矩阵KT奇异,使用载荷控制Newton-Raphson法将不收敛。
此种分析对描述结构的前屈曲特性有益位移控制：弧形结构受到逐渐增大的位移载荷，对应于受力载荷，可用位移控制完成求 解优点：在Fcr点外产生一个稳定求解弧长法：强制Newton-Raphson迭代沿着与平衡路径相交的圆弧收敛，可得到承 受零或 负刚度的结构的解3.3前屈曲分析1、分析方法： 线性特征值屈曲、非线性屈曲分析线性特征值屈曲前屈曲11/ Z--理想化加载路径-—1卜理想结构的册载路径2、线性特征值屈曲：线性失稳分析以经典的特征值问题为基础为求解特征值问题，首 先求解线弹性前屈曲加载状态 {PO}的载荷一位移关系；既给定{P0}解{P0} = [Ke]{uO}以得到{uO}:加载{P0}的位移结果 {S} : {uO}引起的应力结果假设前屈曲位移很小，可给出任意状态 ({P } , {u } ， { S } )的增量平衡方程{ △ P} = ([Ke] + [Ks(s)] ){ △u}这里[Ke]:弹性刚度矩阵[Ks(s)]:在应力状态{s}下计算的初始应力矩阵将上面的表示式带入前面的针对整个前屈曲范围的增量平衡方程中，可得到([Ke] + 入[Ks(sO)] ){ △ u} = {0}为满足前面的关系式，必须Det( [Ke] + 入[Ks(sO)] ) = 0在有n个自由度的有限元模型中，上式得到n阶的特征值多项式。
这种情况下的特征矢 量{ △ u}代表了叠加在失稳系统上的变形计算出的最小的特征值是弹性临界载荷{Per};当施加单位载荷时，最小特征值是载荷放 大系数；3、 特征值屈曲分析包括下面四个主要步骤：a. 建模：只允许线性特性，必须定义杨氏模量b. 用预应力得到静力解c. 得到特征值屈曲解d. 查阅结果4、 非线性屈曲 使用一种逐渐增加载荷的非线性静力分析技术，求得使结构变得不稳定的载荷可包 括：初始缺陷、塑性行为、接触、大变形等其它非线性特征5、 非线性屈曲分析的目标：找到第一个极值点(结构不稳定前的最大载荷)非线性屈曲比特征值屈曲更准确，因此在设计与评价结构时推荐使用 非线性屈曲分析7、 非线性屈曲分析包括下面三个主要步骤：a. 建模(包含一个初始缺陷或扰动)b. 求解d.查阅结果8、 建模A初始化屈曲时需要一个小扰动(例如小的力)或一个几何缺陷B特征值屈曲分析出的模态形状可用于产生初始缺陷C施加的载荷应设置为略高(10 to 20% )于特征值屈曲分析预测的临界载荷9、 求解不收敛并不一定意味着结构达到最大载荷！10、 在结构接近屈曲载荷时切向刚度接近于零数值不稳定性或物理不稳定性可通过载 荷—位移曲线的斜度来分辨。
3.4后屈曲分析1、后屈曲分析技巧包括：位移控制、动态分析、弧长法2、 位移控制可用于预测简单加载条件下的后屈曲响应 主要缺点：复杂加载时通常不清楚 施加了多大的位移3、动态分析：使用力载荷控制的静力稳定性问题可用非线性瞬态动力分析求解 动力求解的主要缺点是它不易减弱不需要的动态响应(振动) 4、 弧长法只对力控制的比例加载分析有效不允许面载荷 载荷因子作用于所有的载荷 因此，为了产生不稳定性使用几何缺 陷比使用扰动载荷更好5、 弧长法分析中时间：与载荷因子相关6 如果弧长法不收敛，则减少初始弧长半径可提高收敛性减小弧长半径乘子 (MINARC) 同样可提高收敛性7、 由于采用了过大或过小的弧长半径导致的一个困难是分析沿载荷位移曲线向 后“漂 移”可使用子步数(NSUBST)与弧长半径乘子(MAXARC与MINARC)调节弧长半 径8、 特征值屈曲分析 GUI 求解步骤： 步骤一： 步骤二： 步骤三： 步骤四： 步骤五： 步骤六： 设置分析标题 定义单元步骤七： 类型 定义实常数和材料 步骤八： 特性 定义节点和单元 步骤九： 施加边界条件和载荷求解静力分析 求解屈曲分析进行后处理退出 ANSYS9、 非线性屈曲分析 G。