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1、线性代数基础知识点A可逆r(A)nA的歹I(行)向量线性无关A的特征值全不为0Ax只有零解x,AxARn,Ax总有唯一解ATA是正定矩阵AEApip2psPi是初等阵存在n阶矩阵B,使得ABE或ABE：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间.A不可逆r(A)nA0刖勺列(行)向量线性相关0是刚特征值0的特征向量Ax有非零解，其基础解系即为A关于r(aEbA)naEbA(aEbA)x有非零解=-且b向量组等价矩阵等价()矩阵相似(:)具有反身性、对称性、传递性矩阵合同(;)V关于0,2,en：称为？n的标准基，？n中的自然基，单位坐标向量;e,e2,en线性无关； ee,en1； trE=
2、n；任意一个n维向量都可以用ej,e2,en线性表示行列式的定义a11a12Lana21a22La2nMMMan1an2Lann(1)(j1j2Ljn)a1j1a2j2LanjnjjLjnDnV行列式的计算:行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零若A与B都是方阵（不必同阶），则1)mnAB（拉普拉斯展开式）B上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积关于副对角线:ania2na2n1Ann(n1)1)c1na2nKani所有取自不同行不同列的n个元素的
3、乘积的代数和）11L1x1x2Lxn2x12x2L2xnMMMn1n1Ln1x1x2xn范德蒙德行列式:1xixjaian矩阵的定义由m个数排成列的表a21Ma22Ma2n,称为mMn矩阵.记作:amn伴随矩阵AAjAAiA21A22MA1AM,Aj为A中各个元素的代数余子式AnA2nAnnam2Aaijmn,逆矩阵的求法Word文档(AME)初等行变换(EMA1)a1adbcca2a2a2V方阵的哥的性质:a3a3AmAn(Am)n(A)mnV设Amn,Bns,A的列向量为1,2,n,B的列向量为则ABCmsb11b21Mb12b22Mb1sb2sMC1,C2,L,Cs(i1,2,L,s)b
4、nsAxCi1,A2,AsC1，C2，L,CsdL示.即:C的列向量能由A的列向量线性表小,B为系数矩阵.同理:即:换位变号a2,Cs可由anLa1n1Ga111a122Lan2Ga21a22La2n2C2a211a222La2n2C2MMMMMLLLan1an2Lanncmam11am22Lamn2CmAT为系数矩阵C的行向量能由B的行向量线性表示,资乘一个矩阵，相当于用V用对角矩阵用对角矩阵乘一个矩阵，相当于用a31,2,的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量;的对角线上的各元素依次乘此矩阵的V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘V分块矩阵的转置矩阵:分块矩阵的逆矩阵：TABCD
5、1ABATCTBTDTA1Cin线性表AiCBiAiBiCAi一Ai分块对角阵相乘：A,BBiiABAiBii,AnA22B22AniA2分块对角阵的伴随矩阵:*BAi)mn*AB(i)mnV矩阵方程的解法（A0）：设法化成AX(II)XAB零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关部分相关整体必相关；整体无关，部分必无关.（向量个数变动）（向量维数变动）原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关向量组i,2,n中任一向量i（iWiWn）都是此向量组的线性组合向量组
6、i,2,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余ni个向量线性表示.向量组m维列向量组2,n线性相关r(A)n;m维列向量组2,n线性无关r(A)n.n线性无关，而i,2,线性相关，则可由i,2,n线性表不，且表不法唯一.矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵白秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余ni个向量线性表示.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0;每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为i,且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且
7、不改变列向量间的线性关系;矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系Word文档即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:对A施行一次初等变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵乘A;对A施行一次初等)变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵的乘A.矩阵的秩如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)r向量组的秩向量组1,2,L,n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(1,2,L,n)矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：A%B向量组等价1,2,口和n可以相互线性表示.记作:1,2,n%1,2,n
8、?矩阵A与B等价PAQB，P,Q可逆r(A)r(B),A,B为同型矩阵A,B歹U(行)向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价矩阵A与B列向量组等价r(n)r(1,2,n)r(1,2,矩阵A与B等价.?向量组1,2,S可由向量组n线性表示AXB有解r(1,n)=r(2,s)r(1,2,s)&r(?向量组1,2,s可由向量组n线性表示，且sn，则1,2,S线性相关.向量组1,2,s线性无关，且可由1,2,n线性表示，则swn.?向量组1,2,s可由向量组n线性表示，且r(1,2,s)r(1,2,n),则两向量组等价;?任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价?向量组的极大无
9、关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等?设A是mn矩阵若r(A)m,A的行向量线性无关;若r(A)n,A的列向量线性无关，即:n线性无关.V矩阵的秩的性质:若Ar(A)1若AOr(A)0r(Amn)&min(m,n)r(A)r(AT)r(ATA)r(kA)r(A)若k0若Amn,Bns,若r(AB)0r(A)r(B)B的列向量全部是Ax0的解r(AB)minr(A),r(B)若B可逆r(AB)r(B)r(AB)r(A)即：可逆矩阵不影响矩阵的秩Ax只有零解若(n)r(AB)r(B)A在矩阵乘法中有左消去律ABABOboACBC若r(A)
10、rA与唯一的ErOO等价，称ErOO为矩阵A勺等价标准型.r(AB尸r(A)r(B)maxr(A),r(B)&r(A,B)r(A)r(B)Ar(A)Or(B)r(A)r(B)B可由1,2,L,0线性表示Ax有解r(A)r(AM)不可由2,L,n线性表示Ax无解Ax有无穷多解其导出组有非零解r(A)r(AM)r(A)r(AM)r(A)1r(AM)Ax有唯一解其导出组只有零解线性方程组的矩阵式向量式xiO11a12La,nXha21a22La2nx2b2,x,MMMMMam1am2LamnxnbmAxWord文档Ax有无穷多解表示法不唯一Ax2,L,口线性相关有唯一组解表示法唯1,2,L,线性无关
11、当A为方阵时Ax当A为方阵时0有非零解克莱姆法则又2Lxnn1j(1,2,L,n)Ax只有零解M,jg,nmjxn矩阵转置的性质：(At)tA(AB)tbtat(kA)TkATatIA(AB)tAtBt(A1)T(AT)1(AT)(A)T矩阵可逆的性质：(A1)1A_1_11(AB)1B1A1111(kA)1k1A1A1IA1_11_1(AB)1A1B1(A1)k(Ak)1Ak伴随矩阵的性质：(A)An2A(AB)bA(kA)kn1AAlIAn1*(AB)AB(A1)(A)1$(Ak)(A)kn若r(A)nr(A)1若r(A)n10若r(A)n1|abab|kAkn|A|Ak|IAkaBIAIBAAAA|AE（无条件恒成立）Word文档1,2是Ax的解，12也是它的解(2)是Ax的解，对任意k,k也是它的解1,2,L,k是Ax的解，对任意k个常数1,2,L,k,1122kk也是它的解线性方程组解的性质:(4)是Ax的解，是其导出组
