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1、第五节定积分的分部积分法S一、分部积分公式0二、小结思考题一、分部积分公式Theformulaofintegrationbyparts设函数W(X)vV(X)在区间d,可上具有连续导数，则有：血卩=倔a-vdu.定积分的分部积分公式推导(wv)=ufv+uv(uv)fdx=uv，uv=uvdx+uvrdxyfudv=uv一vdnaJa解resindv=dxJ；arcsinxrfx=xarcsinxLJoJoa/1-X21267112(1x2)-rjxdx例2计算解1+cos2x=2cos2兀，xdx=|xtanxjtanxJx7C1F1T?7Cln2=lnsecxk=82lJo84，亠ffxd
2、xnIn2练习：计算tlZ27*=8+Vln(l+x)_2+x_丄1。+爲+严1+兀）解（时十(1+*jfldx111+x2+xFln(l+x)ln(2+x)0=目In2In333例4设/*(兀)=罗，求伪(兀)必cinf解因为呻没有初等函数形式的原函数，t无法直接求出/(X),所以采用分部积分法jf(x)dx=|/(x)rf(x2)=|7(x)；-1x2lt试证fdx=-ja（x-a）（x-b）fn（x）dx分部积分积分解：右端=-jb（x-a）（x-b）df,（兀）2=4（兀-）（兀-方）广（兀）匸广（兀）（2兀-a-b）dx=-2匚卩兀-方）d/（x）再次分部积分=（2兀-a）/（兀）+
3、/（x）dx=左端例8i解:设国1,求？=x-yx-yexdxx-y,xy丿一兀，兀vyI=-j(x-y)exdx(x-y)exdx=lxxexdx+JJjyexdx+xeXdx-yyexdxzxyxyi1=-(x-l)e_+ye+(x-l)ex|+yxy=2ey-(e+-)y例9（07,1,11，）设曲线C的方程为J=/（x）,点（3,2）是它的一个拐点，直线片与厶分别是曲线C在点（0,0）与（3,2）处的切线，其交点为（2,4）.设函数/（兀）具有三阶连续导数，计算定积分Z=Jjx2+x)/w(xMxEJ14二、小结定积分的分部积分公式fudv=uv-vdu.aJa（注意与不定积分分部积分
4、法的区别）练习题、填空题:1、设n为TF奇数,则2、3、4、5、设n为正偶数，贝0Ixexdx=JojxInxdx=fxarctanxdx=Jo%psinxdx=Jo冗卩cosxdx=Jo二、计算下列定积分：1、sin(lnx)/x；2、Ji|lnx|dx；3、J(/n)=xsin,z/xdx,(加为自然数)r冗_i4、J。sinxcos(n+l)x6?x.7C三、已知f(x)=tan2x,/x)f，f(x)dx.U!若厂（无）在0,兀连续，/(0)=2,/(tc)=1,证明：ff(x)+ff,(x)sinxdx=3Jo四、若/（兀）在0护连续，广（0）=。，广（龙）=方，计算：rf(x)+f
5、x)cosxdxJ0Jfsin1xcos(n+l)xdxq1=J：sin兀cosRYcosx-sinnxsinxdx=J：cosnxsinxcosxdx一J：sinxsinnxdx*-rfsinxn=cosAsinxn=0-fcosnxdsin*x-fsinxsinnxdxnn1”J：siiTx(-sinnx)ndx-匚sinxsinnxdxo“相等练习:J：cosJxsin(n+l)xdx、1、4、(m-1)!o(n-l)I!ti;2；加!12/1、/3(e+1)；5、(4493、1-？；nV.2e、3)兀+In22esin1-ecos1+135(m1)3J(m)=1为奇数42(n-l)I!nV.5、0.三、&当兀为正奇数时当兀为正偶数时;
