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1、第5炼 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与
2、以下的命题区分：若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。 在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：若是奇函数
3、，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性
4、1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过
5、两个等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设） 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行
6、“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法二、典型例题：例1：设为定义在上的奇函数，当时，则_思路：由可得：的周期，考虑将用中的函数值进行表示：，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：，所以答案：例2：定义域为的函数满足，当时，则（ ）A. B. C. D. 思路：由，可类比函数的周期性，所以考虑将向进行转化：答案：D小炼有话说：虽然
7、不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。例3：定义在上的函数对任意，都有，则等于（ ）A. B. C. D. 思路：由及所求可联想到周期性，所以考虑，所以是周期为4的周期函数，故，而由已知可得，所以答案：D例4（2009山东）：定义在上的函数满足，则的值为（ ）A. B. C. D. 思路：所给的特点为才有解析式能够求值，而只能通过减少自变量的取值，由所求可联想到判断是否具有周期性，时，则有，两式相加可得：，则，即在时周期是6，故，而答案：C小炼有话说：（1）本题的思路依然是将无解析
8、式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而数较大，所以考虑判断函数周期性。（2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中，从而（3）本题推导过程中也有其用处，其含义是间隔为3的自变量函数值互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”从而将自变量放置已知区间内例5：函数是周期为的偶函数，当时，则不等式在上的解集为_思路：从已知出发可知时，为增函数，且，所以时，时，由偶函数可得：时，时，。从而可作出草图。由所解不等式可将分为两部分，当时
9、，所以，当时，所以，综上解集为：答案：例6：已知是定义在上的函数，满足，当时，则函数的最小值为（ ）A. B. C. D. 思路：由可得是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。由可得为奇函数，所以考虑区间，在时，所以，而由于为奇函数，所以在时，所以即为在的最小值，从而也是在上的最小值答案：B例7：已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，则的值（ ）A. 可正可负 B. 恒大于0 C. 可能为0 D. 恒小于0思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而可得，因为，所以，进而将装入了中，所以由可得，下一步需要转化，由可得
10、关于中心对称，所以有。代入 可得，从而思路二：本题运用数形结合更便于求解。先从分析出关于中心对称，令代入到可得。中心对称的函数对称区间单调性相同，从而可作出草图。而，即的中点位于的左侧，所以比距离更远，结合图象便可分析出恒小于0答案：D小炼有话说：（1）本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系（2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且是呈“对称”的关系，从而在图像上才能看出的符
11、号；第二个是，进而可知；第三个是，既然是数形结合，则题中条件也要尽可能转为图像特点，而表现出中点的位置，从而能够判断出距离中心对称点的远近。例8：函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）A. 是偶函数 B. 是奇函数C. D. 是奇函数思路：从已知条件入手可先看的性质，由为奇函数分别可得到：，所以关于中心对称，双对称出周期可求得，所以不正确，且由已知条件无法推出一定符合。对于选项，因为，所以，进而可推出关于中心对称，所以为图像向左平移个单位，即关于对称，所以为奇函数，正确答案：D例9：已知定义域为的函数在上有和两个零点，且与 都是偶函数，则在上的零点个数至少有（ ）个A. B. C. D. 思
12、路：已知区间仅是，而所求区间为，跨度如此之大，需要函数性质。从条件入手为偶函数可得关于轴对称，从而判断出是周期函数，且，故可以考虑将以10为周期分组，先判断出一个周期内零点的个数，再乘以组数，加上剩余部分的零点即可解：为偶函数关于轴对称为周期函数，且将划分为关于轴对称 在中只含有四个零点而共组所以在中，含有零点共两个所以一共有806个零点答案：C小炼有话说：（1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看所求区间包含几个周期，相乘即可。如果有不满一个周期的区间可单独统计（2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭”，分段的要求时“不重不漏”，所以在给周期函数分段时，一端为
13、闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持队型，结构整齐，便于分析。（3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将零点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解）例10：设函数是定义在上以1为周期的函数，若在区间上的值域为，则函数在上的值域为（ ）A. B. C. D. 思路：设，则，因为为周期函数，故以为突破口，考虑在中，所以，在中，所以，所以在的值域为答案：B三、近年模拟题题目精选1、（2014，庆安高三期中）已知函数是R上的偶函数，且满足，当时，则的值为（ ）A0.5B1.5 CD12、（2014，安徽）设函数满足，当时，则（ ）A. B. C. D. 3、（2014，四川）设是定义在上的周期为2的函数，当时，则_4、（2014，新课标全国卷I）设函数的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 是偶函数 B. 是奇函数C. 是奇函数 D. 是奇函数5、（2014，会宁县校级月考）已知，方程在内有且只有一个，则在区间内根的个数为（ ）A. B. C. D. 6、已知定义在上的函数满足：，当时，则_7、已知定义在上的函数满足，且时，则（
