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1、二计算坐标与坐标方位角的基本公式控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式。一、坐标正算和坐标反算公式1坐标正算根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。如图 55 所示，已知 A 点的坐标为 xA 、 yA，A 到 B 的边长和坐标方位角分别为 SAB 和 AB ，则待定点 B 的坐标为xBxAx AByByAyAB（ 5 1）式中x AB、yAB 坐标增量。由图 55 可知xABSAB cosy ABSA
2、B sinABAB（ 5 2）式中SAB 水平边长；AB 坐标方位角。将式（ 5-2 ）代入式（ 5-1 ），则有xBx ASAB cosyBy ASAB sinABAB1（ 5 3）当 A 点的坐标 xA 、 y A 和边长 SAB 及其坐标方位角AB 为已知时，就可以用上述公式计算出待定点B 的坐标。式（5 2）是计算坐标增量的基本公式，式（5 3）是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式。从图 55 可以看出xAB 是边长 SAB 在 x 轴上的投影长度，y AB 是边长 SAB 在 y 轴上的投影长度，边长是有向线段，是在实地由 A 量到 B 得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从0到
3、360变化， 根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图 5 6所示。从式（ 52）知，由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表 5 3。23图 55 坐标计算图 56 坐标增量符号表 53坐标增量符号表坐标方所在象限坐标增量的正位角负号（）x y0 9090 1801802702704360例 1 已知 A 点坐标 xA =100.00m ， yA =300.10m；边长sAB =100m，方位角AB =330。求 B 点的坐标xB 、 yB 。解：根据公式（53）有xBxAsAB cosy ByAsAB sinA
4、BAB100100 cos330186.1m300.1100 sin 330249.6m2、坐标反算由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长，这种计算称为坐标反算。由式（ 51）有xABxBxAy AByBy A（54）该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。在图 5 5 中 x AB表示由 A 点到达 B 点的纵坐标之差称纵坐标增量；y AB 表示由 A 点到 B 点的横坐标之差称横坐标增量。坐标增量也有正负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大小。在图 5 5 中如果 A 点到 B 点的坐标已知， 需要计算 AB边的坐标方位角AB 和边长时SAB ，则有tanyByAy ABA
5、BxAxABxB5xAByABSABsin ABcos AB(5 5)或SAB22xAByAB公式（ 5 5）称为坐标反算公式。应当指出， 使用公式 （ 5 5）中第一式计算的角是象限角 R，应根据 x、 y 的正负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。因此公式（ 5 5）中的第一式还可表示为：RAB arctan yByAarctanyABxBxAxAB例 2已知 xA =300m,y A =500m, xB =500m, yB =300m,求 A、 B二点连线的坐标方位角AB 和边长 SAB 。解：由公式（ 5-5 ）有RAByByA300500arctanxAarctanarctan
6、( 1)xB500300因为 xAB 为正、 y AB 为负，直线AB 位于第四象限。所以RABNW 45根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得：AB36045315AB边长为：SAB( x Bx A ) 2( y ByA ) 2( 500300) 2(300500) 2282.8m坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的6公式，应用十分广泛。在测量计算时， 由于公式中各元素的数字较多， 测量规范对数字取位及计算成果作了规定。例如图根控制点要求边长计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。二、坐标方位角的推算公式由公式（ 5-2 ）知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角两个
7、要素，其中边长是在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。下面介绍坐标方位角的推算公式。如图 5-7 所示，箭头所指的方向为“前进”方向，位于前进方向左侧的观测角称为左观测角，简称左角；位于前进方向右侧的角称为右观测角，简称右角。1. 观测左角时的坐标方位角计算公式在图 57 与 58 中，已知 AB边的方位角为AB ，左 为左观测角，需要求得BC边的方位角BC 。 左 是外业观测得到的水平角，从图上可以看出已知方位角AB 与左观测角左 之和有两种情况：即大于180或小于 180。图 5 7 中为大于 180的情况，图5 8 中为小于 18
8、0的情况。7图 5 7 坐标方位角推算图 58 坐标方位角推算从图 5 7 可知， BC边的坐标方位角为BCAB左180从图 5 8 可知， BC边的坐标方位角为BCAB左180综上所述两式则有 180（ 5 6）式（ 5-6 ）是按照边的前进方向，根据后一条边的已知方位角计算前一条边方位角的基本公式。公式说明：导线前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角加上左观测角，其和大于180时应减去180，小于 180时应加上180。2. 观测右角时的坐标方位角计算公式从图 5-7 或图 5-8 可以看出8左360右将该式代入式 (5- 6),得(180 ) 360当方位角大于 360时，应减去
9、360，方向不变。所以上式变为前后右180（ 5 7）上式说明： 导线中， 前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角减去右观测角，其差大于 180时应减去180，小于 180时应加上180。使用式（ 5-6 ）与(5-7) 时，还应注意相应两条边的前进方向必须一致，计算结果大于 360时，则应减去 360，方向不变。例 3图 5-9为一条支导线，已知A 点的坐标方位角BA=101 28, 导线 A 点的左观测角左=108 32，M点的右观测角右 =75 。试推算坐标方位角AM 、MN 。图 59支导线解：由式（ 5-6 ）得9AMBA180则有由式（ 5-7 ）得AM101 28108 3218030MNAM右180则有MN 30 75 180 13510
