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1、第二十二讲特征值和特征向量典型题特征值与特征向量典型题1、特征值与特征向量（195，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为l=-1,l=l=1，对应于l1231的特征向量为x=(0,1,1)T，求A1【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和三个线性无关特征向量x,x,x后，由公式123A(x,x,x)=(lx,lx,lx);可解出A=(lx,lx,lx)(x,x,x)-1123112233112233123【详解】设对应于l=l=1的特征向量为x=(x,x,x)T，根据A为实对称矩阵的23123假设知xTx=0，即x+x=0，解得x=(1,0,0)T,x=(0,1,-
2、1)T12323于是由A(x,x,x)=(lx,lx,lx)123112233A=(lx,lx,lx)(x,x,x)-11122331231=00-1有0100=-1011-10-1110-110000-10-102（98，填4题，3分）设A为n阶矩阵，A0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值l，则(A*)2+E必有特征值(A)2+1l【分析】本题从特征值、特征向量的定义Ax=lx,x0进行推导即可【详解】设Ax=lx(x0)，则A-1x=1AxAA-1x=llx,(x0)(A*)2+Ex=(A即A*x=Ax从而(A*)2x=(A)2xlll)2+1x,x0399，填4题，3分
3、）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是n,0,0（可见(A*)2+E必有特征值(A)2+1ln-11/17第二十二讲特征值和特征向量典型题【分析】因为r(A)=1，所以lE-A=ln-aln-1iil-1lE-A=-1-1l1-11l-nl-n-1l1-11【详解】因为l1111-1-1l-n1l1=l-nl00（ln）ln-100l因此本题应填n,0,0故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重）n-1a-1c3，其行列式A=-1，又A的伴随矩4（99，十题，8分）设矩阵A=5b-a=lAa;也即l53-1=-1由此可得l0(-5-b+3)=1解此方程组，得l=1,b=-3,a=cl(-
4、1+c-a)=-11-c0-a阵A*有一个特征值l，属于l的一个特征向量为a=(-1,-1,1)T，求a、b、c和l的000值【分析】利用AA*=AE，把A*a=la转化为lAa=-a是本题的关键00,【详解】根据题设有A*a=la，又AA*=AE=-E于是AA*a=Ala=lAa,即000c-1a-1-1b001-c0-a11l(-a+1+c)=1000a-1c又由A=-1和a=c，有51-cb03=a-3=-1-a5.（03，九题，10分）设矩阵A=232，P=101，B=P-1A*P，求B2E故a=c=2,因此a=2,b=-3,c=2,l=103220102230012/17第二十二讲特
5、征值和特征向量典型题的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵【分析】可先求出A*,P-1，进而确定B=P-1A*P及B2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B2E与A*+2E相似求出其特征值与特征向量。【详解1】经计算可得A*=-2-2,P-1=100B=P-1A*P=-2-4，55-25-2-27-201-1005001-2-23900-4从而B+2E=-27-2-25l-900lE-(B+2E)=2l-74=(l-9)2(l-3)22l-5故B2E的特征值为l=l=9,l=3123当l=l=9
6、时，解(9E-A)x=0，得线性无关的特征向量为12-1-2h=1,h=01201所以属于特征值l=l=9的所有特征向量为12当l=3时，解(3E-A)x=0，得线性无关的特征向量为h=1所以属于特征值l=3的所有特征向量为kh=k1，其中k为非零的任意常数-1-2,kk1h1+k2h2=k11+k20，其中k12是不全为零的任意常数0103310333331【详解2】设A的特征值为l，对应特征向量为h，即Ah=lh3/17第二十二讲特征值和特征向量典型题*由于A=70，所以l0;又因A*A=AE，故有Ah=Ahl于是有B(P-1h)=P-1A*P(P-1h)=AlA(B+2E)P-1h=(l
7、+2)P-1h(P-1h),因此，A+2为B2E的特征值，对应的特征向量为P-1hll-3-2-2由于lE-A=-2l-3-2=(l-1)2(l-7)-2-2l-3当l=l=1时，对应的线性无关特征向量可取为h=1,h=0当l=7时，对应的一个特征向量为h=10，得P-1h=-1,P-1h=-1,P-1h=1由P-1=10对应与特征值3的全部特征向量为kP-1h=k1，其中k为非零的任意常数故A的特征值为l=l=1,l=7123-1-1121201133101-11-10123001011因此，B2E的三个特征值分别为9，9，3对应于特征值9的全部特征向量为1-1,kk1P-1h1+k2P-1
8、h2=k1-1+k2-1，其中k12是不全为零的任意常数；01033331（9606，21）题，分）设3阶实对称矩阵A的各行元素和均为3，向量a=(-1,2,-1)T，1a2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax0的两个解4/17第二十二讲特征值和特征向量典型题（）求A的特征值与特征向量（）求正交矩阵Q和对角矩阵L,使QTAQ=L【分析】本题为矩阵对角化问题，由于矩阵A未给定，故必须利用行和相等与实对称矩阵的已知条件求解【详解】（）因为a,a是齐次方程组Ax0的两个解，即12Aa=0a,Aa=0a1122所以0是A的一个特征值，a,a是对应的两个特征向量，又a,a线性无关，故1212特征值0的代数重数至少是2已知A各行元素之和均为3，取a=(1,1,1)T
