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1、 精品资料数系的扩充与复数的引入导学目标: 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义自主梳理1数系的扩充数系扩充的脉络是:_,用集合符号表示为_,实际上前者是后者的真子集2复数的有关概念(1)复数的概念形如abi (a,bR)的数叫复数,其中a,b分别是它的_和_若_,则abi为实数,若_,则abi为虚数,若_,则abi为纯虚数(2)复数相等:abicdi_(a,b,c,dR)(3)共轭复数:abi与cdi共轭_(a,b,c,dR)(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的
2、平面,叫做复平面_叫做实轴,_叫做虚轴实轴上的点表示_;除原点外,虚轴上的点都表示_;各象限内的点都表示_复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以_为起点的向量组成的集合也是一一对应的(5)复数的模向量的模叫做复数zabi的模,记作_或_,即|z|abi|_.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则加法:z1z2(abi)(cdi)_;减法:z1z2(abi)(cdi)_;乘法:z1z2(abi)(cdi)_;除法:_(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、z3
3、C,有z1z2_,(z1z2)z3_.自我检测1(2011山东改编)复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第_象限2(2011广东改编)设复数z满足(1i)z2,其中i为虚数单位,则z_.3(2011大纲全国改编)复数z1i,为z的共轭复数,则zz1_.4(2011重庆改编)复数_.5(2011江苏)设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位),则z的实部是_.探究点一复数的基本概念例1设mR,复数z(2i)m23(1i)m2(1i)(1)若z为实数,则m_;(2)若z为纯虚数,则m_.变式迁移1已知复数z(a25a6)i (aR),试求实数a分别取什么值时,z分别为:(1)实数;(2)虚
4、数;(3)纯虚数探究点二复数的运算例2计算:(1);(2)2 012.变式迁移2计算:(1);(2);(3).探究点三复数的几何意义例3如图所示,平行四边形OABC,顶点O,A,C分别表示0,32i,24i,试求:(1)所表示的复数,所表示的复数;(2)对角线所表示的复数;(3)求B点对应的复数变式迁移3(2010苏北四市期末)复数z134i,z20,z3c(2c6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若BAC是钝角,则实数c的取值范围为_2乘法法则:(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i;除法法则:i(cdi0)特别地:(abi)2a22abib2a2b22abi,(abi)(ab
5、i)a2b2.3进行复数运算时,熟记以下结果有助于简化运算过程:(1)i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i,inin1in2in30 (nN);(2)(1i)22i,(1i)22i,i,i.(满分:90分)一、填空题(每小题6分,共48分)1(2011江西改编)若z,则复数_.2(2010北京)在复平面内,复数65i,23i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数为_3若(,),则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在第_象限4(2011课标全国改编)复数的共轭复数是_5下面四个命题:(1)0比i大;(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当
6、其和为实数;(3)xyi1i的充要条件为xy1;(4)如果让实数a与ai对应,那么实数集与纯虚数集一一对应其中正确命题的个数是_6已知z12i,z213i,则复数的虚部为_7已知复数z1m2i,z234i,若为实数,则实数m_.8(2010上海九校联考)复数zxyi (x,yR)满足|z1|x,则复数z对应的点Z(x,y)的轨迹方程为_二、解答题(共42分)9(12分)已知|z|z12i,求复数z.10(14分)(2011海口调研)已知复数z0ai和zz0|z0|1(1)i,i为虚数单位,a为实数求证:复数z不可能为纯虚数11(16分)已知mR,复数z(m22m3)i,当m为何值时,(1)zR
7、;(2)z是纯虚数;(3)z对应的点位于复平面第二象限;(4)z对应的点在直线xy30上学案68数系的扩充与复数的引入答案自主梳理1自然数系有理数系实数系NQR2.(1)实部虚部b0b0a0且b0(2)ac,bd(3)ac,bd(4)x轴y轴实数纯虚数非纯虚数原点(5)|z|abi|3.(1)(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i(2)z2z1z1(z2z3)自我检测1四解析zi,复数z对应的点的坐标为(,),在第四象限21i解析方法一设zxyi,则(1i)(xyi)xy(xy)i2,故应有解得故z1i.方法二z1i.3i解析z1i,1i,z|z|22,zz12(1i)
8、1i.4.i解析i.51解析设zabi(a、bR),由i(z1)32i,得b(a1)i32i,a12,a1.课堂活动区例1解题导引根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念,利用它们的充要条件可分别求出相应的m值利用概念解题时,要看准实部与虚部答案(1)1或2(2)解析z(2m23m2)(m23m2)i.(1)若z为实数,则m23m20.m1或2.(2)若z为纯虚数,则解得m.变式迁移1解(1)当z为实数时,则有,a6,即a6时,z为实数(2)当z为虚数时,则有a25a60且a210,a1且a6且a1.a1且a6.当a(,1)(1,1)(1,6)(6,)时,z为虚数(3)当z为纯虚数时,有,.不存在
9、实数a使z为纯虚数例2解题导引复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项),复数的乘除运算是复数运算的难点,在乘法运算中要注意i的幂的性质,区分(abi)2a22abib2与(ab)2a22abb2;在除法运算中,关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数),此时要注意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)(ab)a2b2,防止实数中的相关公式与复数运算混淆,造成计算失误解(1)i.(2)原式1 0061 0060i(i)1 006ii2i11i.变式迁移2解(1)13i.(2)i.(3)1.例3解题导引根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向
10、量对应的复数,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可解(1),所表示的复数为32i.,所表示的复数为32i.(2),所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3),表示的复数为(32i)(24i)16i,即B点对应的复数为16i.变式迁移3c且c9解析在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c6),由BAC是钝角得0且B、A、C不共线,由(3,4)(c3,2c10),其中当c9时,(6,8)2,三点共线,故c9.课后练习区12i解析z2i,2i.224i解析复数65i对应A点的坐标为(6,5),23i对应B点的坐标为(2,3)由中点坐标公式知C点坐
11、标为(2,4),点C对应的复数为24i.3二解析由三角函数线知识得当(,)时,sin cos 0.故点在第二象限4i解析方法一i,的共轭复数为i.方法二i.的共轭复数为i.50解析(1)中实数与虚数不能比较大小;(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数,但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数;(3)xyi1i的充要条件为xy1是错误的,因为没有标明x,y是否是实数;(4)当a0时,没有纯虚数和它对应61解析i,故虚部为1.7解析是实数,64m0,故m.8y22x1解析由|z1|x得|(x1)yi|x,故(x1)2y2x2,x0,整理得y22x1.9解设zabi (a、bR),则(abi)12i.(2分)由两复数相等的充要条件得(8分)解得.所以所求复数为z2i.(12分)10证明因为2a10