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1、应用于电子镇流器中的谐振逆变器建模方宇 谢勇 扬州大学信息工程学院电子工程系气体放电灯采用电子镇流器，可以大大地增加流明，减小体积。通常，为简化电路，降低成本，让电子镇流器工作在开环状态下。然而，在开环工作状态下，灯功率在很大程度上依赖于电网的电压、逆变器的器件和灯的寿命，这些因数的变化会引起灯流明的变化。因此，开环下灯的照明质量较差，且寿命较短。为了避免这些缺点，有必要实现电子镇流器的闭环控制。一般地来说，设计电子镇流器的闭环控制需要做两个方面的工作：第一，建立谐振逆变器的动态模型，模型要能适合串联谐振，并联谐振及串并联谐振逆变器的电子镇流器；第二，建立典型的气体放电灯的动态模型，这些模型包
2、括低压气体和高压气体放电灯。本文主要涉及逆变器动态模型的建立。文中给出了谐振逆变器的大信号和小信号模型的建立方法，这个模型是在功率电子电路平均模型基础上建立的。它可以用来实现电子镇流器的闭环控制，从而改善电子镇流器的性能。最后以并联谐振逆变器电子镇流器为例，建立了它的小信号和大信号模型，仿真和实验的一致性验证了文中给出的建模方法是有效的。一、广义的状态空间平均模型方法1.广义状态空间平均模型众所周知，多频率的平均模型方法不同于状态空间平均模型。传统的状态空间平均模型方法非常简单实用，常用来建立电压电流纹波较小的变换器模型，这种场合下的模型，纹波电压电流必须足够低(相对于平均值)，可以被忽略。因
3、此，传统的状态空间平均模型不能用于电压电流纹波大的变换器或存在交流电压电流的变换器的建模。电子镇流器中的谐振逆变器就属于这种情况。建立电压电流纹波较大的变换器的模型，就必须用广义的状态空间平均方法。这种方法第一次是由Sanders及其他人用来建立多种电源DC-DC变换器模型的，用以获得大信号和小信号模型。广义的状态空间平均法是应用付里叶级数得到变换器的状态变量时域数学模型。这样在一个周期T内可以得到各阶纹波的状态变量x(t)，时间间隔是(t-T， t)，指数形式的付里叶级数表示如下。 (1)这里，是付里叶级数的复数系数。这个系数是时域的，并且是状态变量在时间段 T上积分得到的，见下式： (2)
4、广义状态空间平均法的基本思想是将付里叶级数的系数看作新的状态变量，用这新的状态变量来描述系统。图1的映射关系描述了这一思想。我们可以用一组状态变量xi(t)来描述功率变换器，xi(t)是一组一阶微分方程。这样，在广义状态空间平均模型中，系统是以新的状态变量表示的，是付里叶级数的系数，由公式(2)计算。显然，描述系统所用的付里叶级数系数越多，平均模型就越精确。因这些系数是复数，所以最终的实平面内的平均模型的阶次将是复数系数的两倍。将付里叶级数的系数当作新的状态变量的一个重要步骤就是对每个系数求导(对时间)。对式(2)求导得式(3)： (3)式(3)模型对于恒定的角频率来说是精确的。在频率随时间变
5、化的情况下，方程(3)是近似的，但它对于频率变化慢的系统来说是一个相当好的近似。一当有了普遍意义的建模方法，我们就可以将这种一般的方法应用到功率电子系统中去。通常，定义功率电路的形为如下： (4) (5)这里 是状态变量矢量，是激励矢量，是输出矢量。f()和 g()可以是线性函数也可以是非线性的，这取决于所建模变换器的类型。 图1状态空间到平均状态空间的映射获得广义平均模型的第一步是在方程(4)和(5)的两端应用付里叶级数，得到式(6)和式(7)。 (6) (7)因在平均模型中，新状态变量是时变的付里叶级数的系数，将(3)式代入(6)，得到相应的(8)式和(9)式，这样，所得平均模型的状态方程
6、是付里叶系数的函数。 (8) (9)然而方程(8)和(9)不是最终的平均模型，因函数f()和 g() 仍然是新状态变量的隐式。为了得到最终的平均模型，我们必须得到显式(10)和(11)。 (10) (11)得到(10)和(11)式是建模过程中的难点，特别是当函数f() 和 g() 是非线性的情况。对于多项式，存在迭代的关系，可得显函数。但在大多数情况下是不可能得到显函数的，为此，一种切实可行的方法是采用描述函数法。值得庆幸的是谐振逆变器的函数f() 和 g() 是线性的，这将大大地简化了分析过程。化简方程(10)，(11)给出的模型时，发现每个付里叶系数将以2阶的速度增加系统模型的阶次，因此，
7、采用太多阶的付里叶级数会增加模型的复杂性。考虑到模较小的付里叶系数对提高模型的精确性已无明显效果，所以实际中只考虑有限阶的付里叶级数。对于典型的DC-DC变换器来说，纹波电压、电流都很小，只要考虑k=0就足够了，并且，在这种情况下获得的模型同用传统的平均方法所得的模型是完全一样的；然而，对于用在电子镇流器中的谐振逆变器来说，由于是交流电压电流，故至少要考虑k=1阶。2.谐振逆变器建模图2(a)是电子镇流器中常用的谐振逆变器方框图，图中高频逆变器充当电压源，于是可以将这样的电子镇流器等效成一个电压源、谐振腔和灯负载三部分组成，如图2(b)所示。通常谐振腔由线性元件构成，因此状态方程是线性的，如下
8、式：图2 (a) 电子镇流器组成图 (b) 电子镇流器简化图 (12)为了得到平均模型，在式(12)两侧采用付里叶级数表示，得式(13)： (13)重新整理(13)可得： (14)这里I是单位矩阵。方程(14)给出了平均状态模型，这个模型是由几个一阶差分方程构成，这里新状态变量就是付里叶级数的系数。由于方程(14)中的付里叶系数是以显式表示的，故方程(14)即为最终的平均模型。在后面的建模例子中，获得的谐振逆变器模型的输出方程是新状态变量的函数，用(15)式表示。 (15)这样一来，完整的数学模型可由方程(14)和(15)共同描述。这里所有的付里叶系数都可以用显式表示。注意：方程(14)和(1
9、5)给出的是大信号模型，从这个模型我们可以获得状态方程的稳态解和谐振逆变器的小信号模型。稳态解：令： (16)将式(16)代入式(14)可得一般的稳态解如下： (17)输出量直接由方程(15)解得： (18)3.小信号传递函数由(14)和(15)式很容易得到谐振逆变器的小信号传递函数，只要在这个大信号模型中引入相应的小挠动量，经线性化处理，再经过拉普拉斯变换，可推导出想要的传递函数。例如，为了得到与开关频率变量有关的传递函数，只要引入开关频率的小挠动量，并且设定激励是恒定的。引入频率小挠动量得(19)和(20)式： (19) (20)相应的状态变量变为(21)式： (21)将(19)(21)式
10、代入模型(14)，可得到下面的表达式： (22)忽略二阶项得： (23)对(23)式用拉普拉斯变换，可得传递函数： (24)同样，可以得到激励到状态变量的传递函数见(25)式： (25)一旦得到状态变量小信号传递函数，就可以借助方程(15)推导出输出变量的传递函数，一般式见(26)。 (26)方程(24)(26)给出了谐振逆变器小信号传递函数的一般表达式。二、LC 谐振逆变器建模 以并联LC谐振逆变器为例建模。通常选择电感上的电流i(t)和电容上的电压uC(t)作为状态变量。因这些变量是交变的波形，故可将这些波形的包络线值作为输出值。这里我们仅考虑付里叶级数的一次分量 (k = 1)，如果谐振
11、变换器工作在谐振点附近，那么状态变量的波形将接近正弦。 状态变量见(27)式： (27)由图3b，应用KCL和KVL，可得下列状态方程： (28)图3(a) 谐振逆变器拓扑 (b) 谐振逆变器等效电路 (29)这里， 。应用前节提到的付里叶级数，且只考虑一阶项，则新的状态空间模型见下式： (30) (31)我们定义新的空间状态矢量如下： (32)在这个例子中，输出变量是电感L上的电流和电容C上电压的峰值，通过(33)式计算得到。 (33) (34)方程 30， 31， 33， 和 34给出了LC谐振逆变器的大信号模型。用上一节讲述的方法，我们可以得到系统的稳态解和小信号传递函数。应用(17)和
12、(18)式得稳态解见(35)和(36)。 (35) (36)考虑复数和实数付里叶系数的关系可得最终的稳态解： (37) (38)正如我们所期望的一样，这个解与用基波近似方法得到的解是一样的8。三、仿真和实验图4 (a)电子镇流器的闭环控制流程图 (b) 等效小信号控制方框图图4(a)是典型的离线式电子镇流器的实现方框图。第一部分是AC/DC变换器，用以实现高输入功率因数并给谐振逆变器提供直流母线电压Vo。通常我们用占空比D来控制这个变换器的母线电压，所以这个占空比可以用来调节灯负载的功率，从而维持一个恒定的开关频率。对于灯负载来说，灯的平均功率是最重要的变量，如果灯负载上的功率超过额定值，灯的寿命就会减少，所以对它要进行控制。然而，灯功率的直接控制需要一个模拟乘法器来计算灯的瞬时功率，成本将有所增加。另一种方法是借助灯的光通密度，因光通密度与灯的功率是成正比的。用一个光敏
