《专题07 探索“一线三等角”模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题07 探索“一线三等角”模型（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 07 探索“一线三等角”模型线三等角模型1/O直角三角形中:等3开绅等边三角呼一线三直角常见图形】典例解析】【例1】（2020广东高州期中）如图1,已知ZACB=90, AC=BC, BD丄DE, AE丄DE,垂足分别为D、E.（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：（1）请你证明：ACECBD；若AE=3, BD=5，求DE的长；（2）迁移：如图2：在等腰R仏ABC中，且ZC=90, CD = 2, BD = 3, D、E分别是边BC, AC上的点,将DE绕点D顺时针旋转90,点E刚好落在边AB上的点F处，则CE=.（不要求写过程）AABECDC蜃2【答案】（1）见解析；DE=8；
2、（2） CE=1.【解析】（1）证明：TBDIDE, AE丄DE,AZE=ZD=90.?ZACB=90o,AZ1=Z2,ZE = ZB在AACE 与 ACBD 中，Z1 = Z2 ,AC = BC.ACE9ACBD；解：同（1），得ACE9ACBD,. CE=BD=5，AE=CD=3，. DE=CE+CD=5+3=8（2）过F作FM丄BC于M,则 ZFMB=ZFMD=90, ?ZC=90 , AC=BC, ?.ZB=ZA=45, ?.ZMFB=ZB=45,. BM=MF，TDE IDF, ?.ZEDF=ZFMD=ZC=90,AZCED+ ZCDE=90 ,ZCDE+ ZFDM=90,； /CE
3、D=/FDM,ACED = ZMDF在 ACED 和 AMDF 中，ZC = AFMD ,、DE = DF:.CEDSAMDF,VCD=2, BD=3,A DM=CE， CD=FM=2=BM，A CE=DM=3 2=1,故答案为 1.【例2】（2020.四川巴州期末）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间 的地面上选了一点C,使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的 夹角为90,若AB=CD=12 米, BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度.万CD田田田【答案】见解析.【解析】解：由题意可知：ZB=ZCDE=ZACE=90AZ
4、 ACB+Z DCE=90AZ ACB+Z DCE=Z ACB+Z BACAZDCE=ZBAC又 AB=CD.ABC 今ACDEA DE=BC，. BC=DE=BDCD=64-12=52故该居民楼ED的高度为52米.【例3】（2020潮州市潮安区月考）问题背景:分别为点D、E.求证：DE=BD+CE.DA EDA E m图图拓展延伸：（2）如图2,将（1）中的条件改为：在 ABC中，AB=AC, D、A、E三点都在直线m上，并且有ZBDA= /AEC=/BAC.请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系.（不需要证明）实际应用：（3）如图，在 ACB中，ZACB=90, AC=BC,点C的坐标为
5、（一2, 0）,点A的坐标为（一6, 3）,请直接写出 B 点的坐标.【答案】见解析.【解析】（1）证明：TBD丄m, CE丄m,AZADB=Z CEA = 90VZBAC=90AZBAD+ZCAE=90VZBAD+ZABD=90AZCAE= ZABDZABD = ZCAE在厶 ADB 和厶 CEA 中，SZADB = ZCEAAB = CA.ADB 竺ACEA.AE=BD, AD=CE:.DE=AE+AD=BD+CE即：DE=BD+CE(2) 数量关系：DE=BD+CE理由如下：在 ABD 中，ZABD=180-ZADB-ZBAD,VZCAE=180-ZBAC-ZBAD, ZBDA=ZAEC
6、,:ZABD=Z CAE,/ABD= ZCAE在厶ABD和厶CAE中，十/BDA= ZAECAB=CA:.ABDCAE: AE=BD， AD=CE，: DE=AD+AE=BD+CE；(3) 解：过A作AE丄x轴于E,过B作BF丄x轴于F,由(1)可知， AECCFB,: CF=AE=3， BF=CE=OE-OC=4，: OF=CF-OC=1，:点 B 的坐标为 B ( 1 ， 4 )LKdEc&Fr【例4】（2020广东广州月考）如图，AE丄AB且AE=AB, BC丄CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是.!./ JJ (；/【答案】 50.【解析】解：.
7、ZEAF+ZBAG=90。，ZEAF+ZAEF=90,:.ZBAG=ZAEF,2F = ZAGB = 90。在厶 AEF 和厶 BAG 中，1 ZAEF = ZBAG ,AE = AB:.AEFKBAG, (AAS)同理 BCGCDH,:.AF=BG=3, AG=EF=6, GC=DH=4, BG=CH=3,1梯形DEFH的面积=厅(EF+DH)FH=80,11 AE戸ABG=q AFAE=9,1 BCG=1 CDH=2 CHDH=6，图中实线所围成的图形的面积：80-2x9-2x6=50,故答案为： 50【例5】(2020曲阜月考)如图，已知点P(2m 1, 6m5)在第一象限角平分线OC上
8、，一直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA+BO=答案】 2【解析】解：作过PPE丄y轴于E, PF丄x轴于F,根据题意得： PE=PF2m-1=6m-5,m=1,. P( 1 , 1 ),:/EPF=90, ?ZBP4=90, PE=PF=1,:.ZEPB=ZFPA,ZPEB= ZPFA=90。在厶BEP和厶AFP中，PE=PF AEPB=AFPA:.BEPAFP (ASA),：BE=AF,：OA+OB=OF+AF+OE-BE=OF+OE,: P( 1 ， 1 )，: OE=OF=1,: OA+OB=2故答案为：2【习题专练】1. （2020.广东英德期末）（1）如图
9、1,已知：在ABC中，ABAC = 90。, AB = AC，直线l经过点A,BD丄l, CE丄l垂足分别为点D、E .证明：ACAE = ZABD ；DE = BD + CE .图1（2）如图2,将（1）中的条件改为：在AABC中，AB = AC, D、A、E三点都在l上，并且有ABDA = AAEC = ABAC = a ,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE = BD + CE是否成立？如成立,（3）如图3,过AABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG , ah是BC边上的高，延长HA交EG于点I,求证：I是EG的中点.【答案】见解析【解析】解：(1)BD丄l, CE丄l:
10、.ZBDA=ZCEA=90?ZBAC=90.ZBAD+ZCAE=90?ZBAD+ZABD=90:.ZCAE=ZABD/ABD = ZCAE在 ADB 和厶 CEA 中，v /BDA = /CEAAB = AC:.ADBCEA；AE=BD, AD=CE:.DE=AE+AD=BD+CE；(2)成立：DE=BD+CE证明如下：?ZBDA=ZBAC=aAZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180 - a:.ZDBA=ZCAE/ABD = /CAE在厶 ADB 和厶 CEA 中，V/BDA =/CEAAB = AC:.ADBCEA:.AE=BD、AD=CE:.DE=AE+AD=BD+CE；（3）过E
11、作EM丄HI于M, GN丄HI的延长线于N:.ZEMI=GNI=90由（1）和（2）的结论可知 EM=AH=GN:.EM=GNrZGIH = ZEIM在厶EMI和厶GNI中，EM = GNZGHI = ZEMI:.EMIGNI:.EI=GII是EG的中点.2.（2020湖北武汉月考）如图，A点的坐标为（0, 3）,B点的坐标为（-3.0）, D为x轴上的一个动点,AE丄AD, 且AE=AD，连接BE交y轴于点M（1）若D点的坐标为（-5.0）,求E点的坐标：（2）求证:M为BE的中点OM（3） 当D点在x轴上运动时，探索：为定值BD答案】见解析.【解析】解：过E点作EF丄y轴于F,TAD丄AE
12、 , EF丄AF:.ZAOD=ZAFE=90.ZDAO+ZEAF=90。，ZEAF+ZAEF=90:.ZDAO=ZAEFZDAO = ZAEF在厶 AOD和厶 EFA 中，ZAOD = ZAFE AD = AE:. AODEFA(AAS)：EF=OA=3 AF=OD=5:.OF=AF-OA=5-3=2即 E(3,-2)(2)D点有3个位置根据题意：AE=AD, ZAEF+ZDAO=90,又ZZAEF+ ZEAF=90,:ZAEF=ZDAO:.AODEFA :.OB=EF, ZBOM=ZEMF=90:.BOMKEFM(AAS)1:,BM=EM= BE.2(3)根据可知，D点在可以在3个位置,当D
13、点如下图的位置时，过D作直线a丄x轴于D,过A作AG丄a于G,由(2)知厶 B0M34EFM,: EF=OB，由(1)知厶 AODEFA即：ef=oa =0B, af=od: OF=AF-OA=OD-OB ，110M= 0F= BD220M 1 BD 2当 D 在另外两个位置时，同理可证：OMBD3. (2019黑龙江齐齐哈尔期中)观察推理：如图1, ABC中，ZACB-90。，ACBC,直线l过点C,点A、B在直线l同侧，BD丄l, AE丄l,垂足分别为D、E.B!A(1) 求证： aeccdb；(2) 类比探究：如图2, R仏ABC中，ZACB-90。，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90至AB：连接占匕求厶ABC的面积；(3)拓展提升：如图3, ZE=60, EC=EB=4cm，点O在BC上，且0C=3cm，动点P从点E沿射线EC 以2cm/s速度运动，连结OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120得到线段OF.要使点F恰好落在射线EB 上，求点P运动的时间.【答案】见解析.【解析】解：(l)TZACB=90,.ZACE+ZDCB=90,TBD丄l, AE丄l,：.ZAEC=ZBDC=90,AZEAC+ZACE=90,:./EAC=/DCB,.AC=BC,:.AECCDB；(2)过B作BD丄AC于D,由旋转知，AB=AB, ZB
