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1、二次根式讲义知识点一：二次根式的概念和性质1定义:形如临(直巨 )的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，把握的重点：(1)二次根式是形式上定义的，必须含有二次根号 。(2) 被开方数a必须是非负数，即aO(3) 的根指数是2, 一般省略根指数2,写作 ，这一点一定要切实注意,不可误认为根指数为“1”，“0”2.性质1、两个非负性：(1) 根号下的a必须是非负数，表示为a三0；(2) *a (a0)本身是一个非负数.表示为三02、a (a0)的平方根是、a， a (a0)的算术平方根是a_a (a0)3、总=| a| = J-a (aV0)
2、要特别注意：不能直接将根号、平方一起去掉，应该有绝对值号，然后 再计算绝对值。计算绝对值的时候，要注意绝对值内代数式的正负性，绝对 值内是一个整体4、(7 a )2= a (a0)注意:的异同点1、不同点:表示的意义是不同的，丫表示一个正数a的算术平方根的平方，而扮表示一个实数a的平方的算术平方根；在血尸中直乏,而是正实数，o,负实数。但(血)与点-都是非负数，即(血)。因而它的运算的结果是有差别的，而0)2、相同点：当被开方数都是非负数，即泾。时，化聘；0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。注意（1）除法运算的结果也要进行化简（2）在运算过程中要注意条件（症0, b0）（3）若
3、含有系数的二次根式相除，可类比单项式的除法法则，将它分为系数和根式 两部分分别运算，然后想乘。G a公式 2： Y b 八b （ao, b0）3 最简二次根式（1）应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式 最简二次根式定义中第（1）条说明被开方数不含有分母；分母是1 的例外。第（2）条说明被开方数中每个因式的指数小于2；特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。）（2）化简最简二次根式的方法：（1）把被开方数（或根号下的代数式）化成积的形式，即分解因式；（2）化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；（3）将根号内能开得尽方的因数
4、（或因式）开出来（此步需要特别注意的是：开到根号外 的时候要带绝对值，注意符号问题）知识点三：二次根式的加减运算1 同类二次根式定义 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类 二次根式2 二次根式加减法的法则先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数 相加减，根式不变3 二次根式的有理化（即去根号）一般常见的互为有理化因式有如下几类：血与池匚罷+罷与需一庞；说+丽与僅一丽；喘石+用应与祖罷_沪払说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化.知识点四：二次根式比较大小1 移动因式法此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从
5、而转化为比较被开方数的大小 如：比较-佔与-帯的大小。2运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数 就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小如：比较与的大小。3.分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比较1 + 2 2 + 2如：比较孑+血与旋+1的大小。4分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。如：比较返 与注 的大小5求差或求商法6求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较。例 5：比较 J2009 - J2002与J2OO5B - J2007 的大小。随堂演练】知识点一例1 x是怎样的实数时，式子V5X二10在实数范围
6、有意义?例 3 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：知识点二 例 1 计算(1)； (2)；(3)6心640.091210.36100 .例 2 下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：例 3 把下列各式化成最简二次根式：知识点三例1加减计算（1）忑+ 拯（2）二 + 48-4占例2有理化：（1） 2-岳;2岳-伍；综合1若i；3m -1有意义，则m能取的最小整数值是（）Am=0Bm=1Cm=2Dm=32 小明的作业本上有以下四题：1 1 v16a4 = 4a2 ； v5a x y10a = 5J2a ； a.= ：a2 = -.ja ； aa3a 一叮2a = =a。做错的题是（）A. B. C. D.3比较大小：23心13 4 化简 _ 一 -_7.辰丄屣丄丘(1)(144)X(169)(2) 45 +、.：45 與 + 42(3)
