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1、精品文档你我共享面积和面积法证题基础知识1.有关面积计算公式及等积定理、面积定理。2.面积问题主要有两个方面,即计算和证明另外尚有作图，前者常用有关公式，通过代数方法解决；后者常用等积变形即等积变换的方法解决,常用方法归纳如下：利用面积公式；2利用等高的两三角形面积之比等于底边之比；利用相似三角形面积之比等于它们的相似比的平方;利用中线把三角形的面积分成相等的两部分；5利用等底等高的两个三角形面积相等。例题精析例1已经知道四边形ACD的对角线AC、BD交于点O，且AC、CD、ABD的面积分别为S，S1，S，求ABO的面积S。12分析此例中,直接出现面积，因此，一看便知须用面积关系进行解答,在解
2、题过程中，常常把多边形面积转化为三角形的面积,再把三角形面积转化为底和高的问题，在转化中要特别留心是否等底或等高。S15OD1OBDSBOS1解：S32。S63D3例2在CA中,AB=90,AD、AE分别是高和角平分线，且AE、AED的面积分别为30,S，求证DC的面积S。12分析因RRtBD，故可考虑用相似三角形面积之比等于相似比的平方。ACB)2解：RtDRtBDA(3ACE是CAB的平分线ABCESEB0S(S6)30221S3S4或。36AAAA精品文档你我共享例3如图，是BC中BC边上的一点，E是D上的一点，求证：BDSEDSAE分析运用两个等高三角形的面积之比等于它们底之比,即可获
3、证。说明:此例提供了一个把线段之比转化为面积之比的好方法，它在解决线段与面积关系方面起着重要的作用。证明：SAEBSEDSAESECAEESEBSECSEDBSEDCBDDC思考此例中,当点与点D重合时，结论仍成立吗？例已经知道从ABC各顶点作平行线DEC,分别与对边或其延长线交于D、E、F，求证:SDEF2SABC分析利用ADEBFC可找出等高的三角形，再利用等底等高的三角形等积作等积代换，问题即可解决。证明:ADFC,ADESADB，SADFADC,SBFSESAESADSADBDCSABSBESBASBESBA即AEFSABCSAEADFSAEFSABC即SDEF2A。例5如图，已经知道
4、点为BC内一点，AD、E、CF过点O分别交C、A、AB于点D、E、F。ODOEOF求证:AEC分析解此题的关键是化异分母为同分母，根据例3，可将线段的长度之比转化为面积之比，再由面积之比即可得出证明。ODSBDADSADSODCAC证明：OOBDADABDSADSOCSBCAAAAA精品文档你我共享OESCA,FSABBESABCCFSAC同理ODOOFSOBCOCASOABDBECFACABCSASOCSOCASAB=SBCCSABC1OSBOC吗?ADAC思考1你能利用面积公式证明.根据题设你能证明OOC2吗？ADECF例在AC中,假设CA,AD、C是两条高如图，求证：BC+DABC.分析
5、“高不离积，凡涉及三角形高的关系式，不妨用面积法试一试。122BCACEAD证明:SBCADBCABEDBCABCABCEADBABAABCEADADBABCBA，ABB1BCABCAADABECED思考不用面积法,你能证明此题结论吗?2从此题你可以发现并归纳出什么规律？3求证：直角三角形斜边与斜边上高的和大于两条直角边的和。例7E是平行四边形AD中上任一点,EFAC交B于，求证：D与D等积分析此题证法较为灵活，可根据同底等高的两个三角形面积相等;有一对角相等的两个三角形的面积比等于角的两边乘积之比;等面积的积差比例等方法来解决。证连结AF、CE，C是平行四边形ADSDEAC同理DCF,SC，
6、EFC，AAAAAA精品文档你我共享SAEAC，ADESDCF。证2ACD是平行四边形,AD=BC,A=C,EFA,AECFABBAECE，DDADCF,B=DCB,SADSDFEADDC1，ADECF例8在C的边AB、C、CA上取A、BE、C各等于所在的边长的三分之一，求证DEF的面积等于AB面积的三分之一。分析因为DEF与ABC之间没有直接关系，1因此要证DEFABC，只要证明：323SDESFFDSAC即可,要证它们与SB的关系那么可用同高的两角形面积之比等于它们底的比；或利用相似三角形的性质；或利用有一对角相等的两个三角形面积之比等于角两边乘积之比。EBC313证1:连结AE,ABE与
7、ABC等高，,SBEAC。3SBC329同理SDE同理SDESABESABC9SABC21DESBSBDESESAD（3)SBCSABC93证:B是ABC与BDE的公共角。231ABBC3BCSBSAC22SBDESABC9同理SEFCSADSABC913SDESABC证明3：取B之中点M,连结M，AAAA精品文档你我共享MBABE1BEACMBEABCESABC11()3192SMBSAB，SBDESAC，92同理可证：SCSASAB1DEFSAC例9四边形ABC的两对角线AC、BD之中点M、N,作MODB,NAC,各边之中点、F、G、H与O连结,求证:OE、OF、OG、OH分四边形为四等分
8、。1分析由于连结三角形中位线可以得到一个三角形的，为此连结MF、41414MG,可证SFCACD，只须证SFGSOF由已经知道可AD，要证SF得OMFG,OFG与MFG是同底等高的三角形,因而可证。其它部分同理可证。证:连结MF、MG、F，F、M是C、AC之中点,1MFCBC1同理SMGCSMCGSC41SABC。、G是BC,CD之中点，FGBD,OBD，GOM,SOFSMFG,1SOCGSFCG同理OBFSOHE分析2连结各中点得平行四边形EFGH,恰等于SABCSABCD,4SOGDHSBCD。4的一半，又21414SOEOFGEFGSABCD，要证SOFCGSBCD，只要证OEHSCG即
9、14可,由已经知道可证SOCGSAB，MHEF,即可,由已经知道可证SOEHSME,MHEG，从而得证。AAAA精品文档你我共享证2:连结E、FG、GH、H、EM、HM,、H是AB、A之中点，/EBD，12/同理FBD12/EHFG，EFGH是平行四边形，EFGHABC2114SOEHSOFGSFGHBCDMD,EHBD，OME。SOEHMHE，H、M是D、A的中点，H=C=C,同理E=FC,2MHECF,SS，SCFSOEH14SCGFSBCD，即SOCGSABCD1同理OEBFSOHESOGDHSABC.4练习1.在BC的边B上取一点P,过点P作PEBA交AC于E,PDCA交BA4BPBC
10、于D,且ADE与C的面积之比为，求的值.92.已经知道梯形D中,DB,对角线AC、BD交于点O,A的面积Sp，1BOC的面积Sq，求梯形ABCD的面积S.23如图，设M是BC的边AC的中点，过M作直线ME交AB于点E,过B1作BFEM交C于,求证:SAEFSABC。2AAAAA精品文档你我共享梯形的面积被一条对角线分成3：7，求这梯形被它的中位线所分成两部分的面积之比。5.如图，B的三条中线AD、BE、C相交于,求证：SAOFSFOBSBODSCCOESEOA6.用面积法证明:在ABC中,M、N分别在、AC上,且AM=MB,AN=N,/求证:MNBC。7.已经知道ABC中,DB交AB于，交AC于E,M为BC边上的中线,与DE相交于N，求证：=N.提示:作DHA于，EAM于K,连结DM、EM,要证D=NE，只需证DH=E，即证SDMEM,然而SBMSA,SBMSECM.求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰所引的垂线段之和为定值。.如图,在ABCD的、边上各取一点,E、F，使AEC，如果A、CF相交于P,那么PB平分P。AAAAA精品文档你我共享1D、E分别是AB的边AC、AB上的点，F、G各是B、之中点,求证1AG的面积等于四边形BCE面积的4练习题解1.解:PEAB，P2SPEB2SAPB2BC2SBPCSB同理:，4SABC2ABCCPB591BC2P
