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1、3.2立体几何中的向量方法（二）利用向量方法求角-对点讲练知识点一求异面直线所成的角k 1 1 2 1 =b 4a c b c+= &,已知平行六面体 ABCD AiBiCiDi的所有棱长都是1,且/ AiAB = Z AiAD = / BAD = 60 E、F分别为AiBi与BBi的中点，求异面直线 BE与CF所成角的余弦值.解如图所示,# / 12解如图所示,AB=a,AD=b,AA1 =c.贝 U |a|=|b|=|c|=1,a,b = b,c = a,c =601a b = b c=a c =,2TT1而 BE=BB1 +B1E =a2TCF =T TCB+ BF =1=-b +c,2
2、+ c.|BE|=|2 + |c|2ac=, |CF |=宁.12 a+cos BE ,CF E *CFBE * CF异面直线BE与CF夹角的余弦值是16.【反思感悟】 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时, 利用向量求解.若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便首选向量法,正方体 ABCD AiBiCiDi中,E、F分别是AiDi、A1C1的中点.求：异面直线AE与CF所成角的余弦值.解不妨设正方体棱长为2, 分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2),由AE = (- 1,0,
3、2),CF=(1,-1,2)，得 |AE |= .5, |CF |= 6.AECF 一 1+ 0+ 4 = 3.又=|AE |CF | cosT TAE, CF =30cos AEcosAE ,异面直线AE与CF所成角的余弦值为.3010知识点二求线面角U 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a,求A与侧面ABB 1A1 所成的角.解方法一建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0) , B(0 , a,0),A1(0,0, ,2a), C1 -，2， 2a，取 A1B1 中点 M，则 M 0, ：, .2a，连结 AM、MC1, 有AB = (0, a,0), AAi
4、 = (0,0,2a),砧=多,0,I T 由于 MCi - AB=0 ,忌总=0,# / i2.M(C 丄面 ABBA.QAM是AG与侧面AiB所成的角B . ASa2,2AM = 0, |,厂Ta,忌-aM = 0 + a + 2a2 = 9a44 2卜 4 + 2a2= . 3a,而 |ACi| =AM 1=+ 2a2= |a,9a2 cos ACi , AM 4=亚-3a= 2 . ,3ax_2ACi, AM = 30,即ACi与侧面ABi所成的角为30方法二（法向量法）（接方法一）AAi, = (0,0, .2a), AB = (0, a,0),设侧面AiB的法向量n =（人x.y)
5、 0,0).3 a亍，a, cos ACi, n =n * ACn * ACi3a23a| = 2 0= 30设所求线面角为0,贝U sin = |cos. ACi , n 【反思感悟】 充分利用图形的几何特 征建立适当的空间 直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角.方法二给出了 一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.如图所示，已知直角梯形AB丄BC，且AS = AB.求直线解由题设条件知，可建立以ABCD，其中 AB = BC = 2AD，AS 丄平面 ABCD，AD / BC，SC与底面ABCD的夹角0的余弦.AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系（如图所示).设
6、AB = 1，贝U A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D*，0，0，S(0,0,1) # / 12AS = (0,0,1)，CS= ( 1， 1,1).AS是底面的法向量，它与已知向量CS是底面的法向量,它与已知向量 CS的夹角3= 90 0,AS CS故有 sin = cos =、 r-，t t1心/3 3|AS|CS| 1 入；3是 cos =1 sin2 0=孚知识点三 求二面角河1如图，四棱锥 P ABCD中,PB丄底面ABCD，CD丄PD，底面 ABCD为直角 梯形，AD / BC，AB 丄 BC，AB = AD = PB = 3点 E 在棱 PA 上，且 PE=
7、 2EA.求二面角 A BE D的余弦值.解以B为原点，以BC、BA、BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设平面EBD的一个法向量为 n 1= （x，y,1），因为 BE = (0,2,1), BD = (3,3,0),由兰旳得2y+1= 0ni * BD 二 0,3x + 3y= 0所以y=-又因为平面ABE的一个法向量为n2= (1,0,0),所以,cos ni,n 2所以，二面角A BE D的余弦值为【反思感悟】几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难变式迁移3点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量， 经过简单运算即可，从而体现了
8、空间向量的巨大作用.若 PA丄平面 ABC，AC 丄 BC，PA = AC = 1，BC =羽，求二面角 A PB C的余弦值.如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B( .2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，AP = (0,0,1)，AB = ( 2，0,0)，CP = (0，1,1)，设平面PAB的法向量为 m= （x，y，z）m AP =0,仆忒0,y=- 2x|z= 0x,y,zO 0, 1= 0x,y,z- .2, 1,0 =0令 x = 1,贝U m= (1, -2, 0).设平面PBC的法向量为n= (x , y , z)，则n *CB = 0,x ,
9、y , z 2, 0, 0 = 0 一x4 0,$ T二 5n *CP = 0,x , y , z0,- 1, 1 4 0y 4z令 y = 1，则 n = (0, - 1, - 1)./ cos m, n面角A PB C的余弦值为_33 .课堂小结:1两条异面直线所成角的求法(1)向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b,其夹角为0,贝U有 cos 4 |cos|a b|4丽(2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全 相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.2直线与平面所成角的求法设直线I的方向向量为a,平面的法向量为u，直线与
10、平面所成的角为0, a与u的夹角为0则有sin 4 |cos號或 cos4 sin Ani与n2的夹角(或其补3. 二面角的求法iAB与CD的夹角(如图所示).(2)设ni、匹是二面角a 3的两个面角)就是二面角的平面角的大小(如图所示).时彳乍业 _*、选择题1 .若直线11的方向向量与12的方向向量的夹角是 150，则11与12这两条异面直线所成 的角等于（）A . 30 . 150 C. 30。或150 .以上均错答案A2. 若直线1的方向向量与平面 a的法向量的夹角等于 150。，则直线1与平面a所成的 角等于（）A. 30 . 60 C. 150 D .以上均错答案B3. 直角三角形
11、ABC的斜边AB在平面a内，直角顶点C在a内的射影是C,则厶ABC 是（）A 直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.各种情况都有可能答案B解析/ 0=CA CB= （ CC+ CA） （CC+ CB）=|CC|CACB.+CA兀=tCC|2 -T 1 1=A1D1 尹1C1+ 2D1D BB1 = 2 2 = 0, A1M丄PN ,即A1M与PN所成的角为90 三、解答题&已知正四棱锥 S ABCD的侧棱长为.2，底面的边长为.3, E是SA的中点，求异 面直线BE和SC所成的角.解建立如图所示空间直角坐标系.由于 AB = 3, SA =2,由于E为SA的中点,所以E4 ,-4 ,3.34 ,4 ,.2-2,2 ,-2吗TE -SC=-1 ,所以因为
