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1、第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图107三视图与直观图7.(2015广西南宁一模,文7,三视图与直观图,选择题)已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()解析:由题意,该四棱锥的直观图如下图所示:则其三视图如图:答案:C8.(2015贵州贵阳一模,文8,三视图与直观图,选择题)如图,三棱锥V-ABC,VAVC,ABBC,VAC=ACB=30,若侧面VAC底面ABC,则其正视图与侧视图面积之比为()A.43B.47C.37D.73解析:正视图为RtVAC,侧视图为以VAC中AC的高VD为一条直角边,ABC中AC的高BE为另一条直
2、角边的直角三角形.设AC=x,则VA=32x,VC=12x,VD=34x,BE=34x,则S主视图S左视图=1232x12x1234x34x=43.答案:A8.(2015山西太原山大附中高三月考,文8,三视图与直观图,选择题)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是()解析:三棱锥的三视图均为三角形,四个答案均满足,且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2的棱锥.A与C中俯视图正好旋转180,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故A,C表示同一棱锥.设A中观察的正方向为标准正方向,以C表示从后面观察该
3、棱锥,B与D中俯视图正好旋转180,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满足实际情况,故B,D中有一个不与其他三个一样表示同一个棱锥,根据B中正视图与A中侧视图相同,侧视图与C中正视图相同,可判断B是从左边观察该棱锥.故选D.答案:D7.(2015甘肃兰州二诊,文7,三视图与直观图,选择题)某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是()A.29B.29C.13D.13解析:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为直角梯形,侧棱PA底面ABCD的四棱锥,如图所示:连接AC,则AC=AD2+DC2=32+42=5,故最长的侧棱长为PC=PA2+AC2=22+52=2
4、9.答案:B6.(2015甘肃兰州一模,文6,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是()A.2B.92C.32D.3解析:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图如图所示,V=131+222x=3x=3.故选D.答案:D10.(2015甘肃庆阳一诊,文10,三视图与直观图,选择题)某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的是()A.25B.26C.27D.42解析:由三视图可知原几何体为三棱锥,其中底面ABC为俯视图中的钝角三角形,BCA为钝角,其中BC=2,BC边上的高为23,PC底面ABC,且PC=2,由以上条件可知,PC
5、A为直角,最长的棱为PA或AB,在直角三角形PAC中,由勾股定理得,PA=PC2+AC2=22+22+(23)2=25,又在钝角三角形ABC中,AB=(2BC)2+(23)2=16+12=27.故选C.答案:C6.(2015黑龙江绥化一模,文6,三视图与直观图,选择题)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为()A.83B.163C.4D.8解析:由三视图知:几何体为圆柱挖去一个圆锥,且圆锥与圆柱的底面直径都为4,高为2,故几何体的体积V1=222-13222=163.答案:B4.(2015甘肃河西五地一模,文4,三视图与直观图,选择题)若一个底面为正三角形、侧
6、棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为()A.123B.363C.273D.6解析:此几何体为一个三棱柱,棱柱的高是4,底面正三角形的高是33,设底面边长为a,则32a=33,a=6,故三棱柱体积V=1262324=363.故选B.答案:B5.(2015甘肃张掖二模,文5,三视图与直观图,选择题)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积是()A.12B.43C.3D.123解析:由三视图知该几何体为四棱锥,记作S-ABCD,其中SA平面ABCD.底面ABCD为正方形,将此四棱锥还原为正方体,易知正方体的体对
7、角线即为外接球直径,所以2r=3,r=32.故S球=4r2=434=3.答案:C5.(2015甘肃张掖一模,文5,三视图与直观图,选择题)一个几何体的三视图是一个正方形,一个矩形,一个半圆,尺寸大小如图所示,则该几何体的表面积是()A.B.3+4C.+4D.2+4解析:由三视图可知,原几何体为圆柱的一半(沿中轴线切开),由题意可知,圆柱的高为2,底面圆的半径为1,故其表面积为S=21212+22+12212=3+4.故选B.答案:B8.2空间几何体的表面积与体积108空间几何体的表面积1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文12,空间几何体的表面积,选择题)体积为26的三棱锥S-ABC的所有
8、顶点都在球O的球面上,已知ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,则球O的表面积为()A.B.2C.4D.6解析:根据题意作出图形:设球心为O,球的半径为r.过A,B,C三点的小圆的圆心为O1,则OO1平面ABC,延长CO1交球于点D,则SD平面ABC.CO1=2332=33,OO1=r2-13.SD=2OO1=2r2-13,ABC是边长为1的正三角形,SABC=34.V三棱锥S-ABC=13342r2-13=26,r=1.故球O的表面积为S=4r2=4.故选C.答案:C3.(2015广西柳州一中一模,文5,空间几何体的表面积,选择题)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视
9、图,则此棱锥的表面积为()A.6+42+23B.8+42C.6+62D.6+22+43解析:直观图为如图所示的四棱锥P-ABCD.SPAB=SPAD=SPDC=1222=2,SPBC=122222sin 60=23,S四边形ABCD=222=42,故此棱锥的表面积为6+42+23.故选A.答案:A4.(2015黑龙江大庆二模,文3,空间几何体的表面积,选择题)如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的表面积为()A.32+4B.24+4C.12+43D.24+43解析:该几何体为长方体与球的组合体.其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3,球的半径为1;故其表面积为
10、222+234+412=32+4.故选A.答案:A10.(2015江西九江一模,文10,空间几何体的表面积,选择题)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为()A.83B.43C.86D.46解析:由已知中的三视图,可得棱锥的直观图如图所示的棱锥A-BCD,由已知三视图中的网格纸上小正方形边长为1,可得正方体的棱长为2,则棱锥的棱长均为22,故棱锥的表面积S=434(22)2=83.答案:A9.(2015江西鹰潭一模,文9,空间几何体的表面积,选择题)已知曲线y=4-x2与x轴的交点为A,B,分别由A,B两点向直线y=x作垂线,垂足为C,D,沿直线y=x将平面
11、ACD折起,使平面ACD平面BCD,则四面体ABCD的外接球的表面积为()A.16B.12C.8D.6解析:由题意曲线y=4-x2与x轴的交点为A,B可知,OA=OB=2,由A,B两点向直线y=x作垂线,垂足为C,D,所以AC=BD=2,沿直线y=x将平面ACD折起,使平面ACD平面BCD,可得三棱锥,三棱锥扩展为长方体,长方体的对角线AB的一半就是外接球的半径,所以AB2=AC2+BC2=AC2+CD2+BD2=2+8+2=12,R=3,故四面体A-BCD的外接球的表面积为4(3)2=12.答案:B7.(2015江西吉安一模,文7,空间几何体的表面积,选择题)三棱锥S-ABC的三视图如图,若
12、点S,A,B,C都在球O的球面上,则球O的表面积是()A.4B.8C.12D.15解析:根据几何体的三视图,得该几何体是由棱长为2的正方体的四个顶点组成的三棱锥,如图三棱锥S-ABC所示:所以三棱锥的外接球的直径为2R=22+22+22=23;所以它的外接球的表面积为S=4R2=(23)2=12.答案:C19.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文19,空间几何体的表面积,解答题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,DAB=60,PD平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD中点.(1)求证:直线AF平面PEC;(2)求三棱锥P-BEF的表面积.(1)证明:如图,分别取
13、PC,DC的中点G,H,连接FG,GH,EH,则FGDH,FG=DH,DHAE,DH=AE,FGAE,FG=AE,则四边形AEGF为平行四边形,则AFEG,EG平面PEC,AF平面PEC,直线AF平面PEC.(2)解:三棱锥P-BEF的表面积等于SBEF+SPBE+SPFE+SPBF.连接BD,DE.底面ABCD是菱形,DAB=60,ABD为正三角形.又AD=1,BD=1,DE=32.又PD平面ABCD,DEAB,PEAB,EFAB,PD=1,DE=32,DF=12,EF=122+322=1,PE=12+322=72.SBEF=12121=14,SBEP=121272=78,SPFE=1212
14、32=38,SPFB=12121=14.三棱锥P-BEF的表面积等于12+7+38.12.(2015江西上饶二模,文12,空间几何体的表面积,选择题)空间几何体的外接球,理解为能将几何体包围,几何体的顶点和弧面在此球上,且球的半径要最小.若如图是一个几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为()A.11316B.11348C.11364D.37764解析:该几何体是一个圆柱和一个正方体的组合体,作出其外接球的轴截面如下图所示:则R2=x2+1=(2-x)2+222,解得x=78,R2=x2+1=11364,故该几何体的外接球的表面积S=4R2=11316.答案:A15.(2015贵州贵阳二模,文15,空间几何体的表面积,填空题)球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切,则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为.解析:球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切,设球的半径为r,则球的表面积为4r2,圆柱的表面积为:2r2+2r2r=6r2.则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为:4r26r2=23.
