数字图像处理第五讲频率域滤波

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1、第五讲频朝趣第五讲频率域滤波数字图像处理方峻口什么是图像变换空间域指图像本身，空域变换直接对图像中的像 素进行揍作。图像变换是将图像从空间域变换到某变换域（如 傅立叶变换中的频率域）的数学变换，在变换域 中进行处理，然后通过反变换把处理结果返回到 空间域。所有形式的图像变换都要求是二维可逆的正交变 换。除了常用的傅立叶变换，还有离散余弦变换、 沃尔什一哈达玛变换、斜变换、霍特林变换、哈 尔变换、小波变换等。本课程仅介绍傅立叶变换。傅立叶变换(Fourier)约瑟夫傅立叶(Joseph FouTier)法国 数学家、物理学家，1807年提岀傅立叶级数。在计算机出现以前，进行傅立叶变换计算量太大,

2、 人们利用光学器件的透射、过滤、相干等原理， 发展出一门利用纯光学器件进行傅立叶变换的理 论傅里叶光学。 70年代随着计算机在数值计算上的应用，发展出 了一种适应于计算机编程和运算的技术快速 傅立叶变换(FFT)傅立叶变换域也称为频域。第五讲频率域滤波数字图像处理方峻信号处理中的傅里叶变换和图像处理中的傅里叶变 换的对应关系号处理J图像处理J时间域一维频率域c正弦波空间域二维空间频率域空间频率波#第#讲频戟瞬数字图像处理方峻口图像通过频域进行变换的意义图像在空域上具有很强的相关性，借助于正交变 换可使在空域的复杂计算转换到频域后得到简化 /图像的变换过程类比于数学上去相关处理，在空域相互 交叉

3、难以描述的特征，在频域往往得到更为直观的表达、 集中或分离。借助于频域特性的分析，将更有利于获得图像的 各种特性和进行特殊处理/利用频率成分和图像外表之间的对应关系，一些在空间 域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。理论上可以在频率域指定滤波器，通过反变换，以其空域响应作为构建空间滤波器的指导。/ 一旦通过频率域试验选择了空间滤波，具体实施可在空 间域进行。C第五讲频率域滤波数字图像处理方峻线性时不变系统f(t)输入(LTI)响应：卷积理论h(t)单位冲激响应LTIy(t)输出卷积(convolution)的定义：对于一个线性时不变系统的输A/(t)和输出y(t),其间必定存在关系(卷

4、积积分)00y(0 = /(0 * KO =虹方)称为线性系统的冲激响应，当线性系统输入f(t)为单位冲激函数5(时，系统的输出(零状态响应)为单位冲激函数（6函数）的定义连续函数形式：6（0 =离散函数形式（单位样值函数）：5（%） =极限定义：冲激函数可以看成是一系列函数的极限，这些函数的振幅逐渐增大，持续时间逐渐减 少，而保持面积不变，即= l或K-oo M = 11/a- a/2a/2-aa单位冲激函数的性质是偶函数：5(0 = 5(-0满足交换律：7(0 *5(0 = 5(0*/(e)取样特性Co (t)dt = /(0),社他为(t 一 t0)dt = /(t0) 注意区别f(MC

5、) = ；：；卷积特性f(t) * 6(0 = L/(T)5(t 一 T)dr = f(t),f(t)* 5) = 一 6)，第#讲频戟瞬数字图像处理方峻口傅氏变换中基本数学概念复数复数C的定义如下：c = R+jI,其中丿2 = 一1,j = Vio复数C的共辘表示为C* = R-jI复数C的极坐标表示C = C(cosO + jsinO)/复数C的幅值(模)|C|二VR2 +厂/ 复数C的相角0 = arctan(/?)调谐信号(欧拉公式)：ej3 = cosO + jsinO极坐标下常用的表示：C = CeJe 一维空间信号的傅立叶变换 /(*)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：00F

6、(z/) = j f(x)eJ27Tt,xdx 其反变换为：飞/(兀)二 J F (nW?讣血在图像处理领域，表达式常用兀(代表空间域)代替方(代 表时间域)，用u代替f若代兀)与F(u)互为傅立叶变换对，/(%) = F(u),可 rT记为 f(x)oF(u)变换对称性：若/(%) F(u),贝|Jf(%)5/(-),即巩F(x) = /(-U)o利用此性质可帮助记忆一些典型信号的傅立叶正 反变换及其函数形状。#第五讲频率域滤波数字图像处理方峻口傅立叶变换的复数特点通常/(%)的傅里叶变换为复数，可有通用表示式: 尸()=*( )+()/?(u), /(u)分别为傅里叶变换F(u)的实部和虚

7、部 可进一步写为指数形式：尸()=|尸()0她)幅度谱、傅立叶谱或频谱|FG/)|= Jr2)+厂(巧相位谱或相位角0(况)=arctan/(zz)/7?()功率谱P(u) = |F(u)|2 = R2(u) + /2(u)变换分析的直观说明#第五讲频率域滤波数字图像处理方峻#第五讲频率域滤波数字图像处理方峻把一个信号的波形分解为许多 不同频率正弦波之和。#第五讲频率域滤波数字图像处理方峻变换分析的直观说明：方波信号的分解方波信号的幅度谱和相位谱#第五讲频率域滤波数字图像处理方峻#第五讲频率域滤波数字图像处理方峻度 幅谱nrt4-#第五讲频率域滤波数字图像处理方峻几种特殊函数的傅立叶变换矩形函

8、数（单个方波信号,注意和周期方波信号第#讲频戟瞬数字图像处理方峻口几种特殊函数的傅立叶变换TT利用对称性：若 f(x)oF(u),贝!F(x) of (-it), 则由矩形函数的结果反转得到sine函数的傅氏变换:第五讲频率域滤波数字图像处理方峻#第五讲频率域滤波数字图像处理方峻几种特殊函数的傅立叶变换常数函数：直流分量(DC)力(/) = K常数函数的富里叶变换:W)=W)几种特殊函数的傅立叶变换脉冲函数：t重要结论：时域 上存在跳变，则 对应频域上包含 I所有的频谱分量又名冲激函数h(t) = K&脉冲函数的富里叶变换:J LKH(/) = K几种特殊函数的傅立叶变换脉冲函数:又名周期取样

9、函数曲）=川=S脉冲函数的富里叶变换:I-1/T1/T几种特殊函数的傅立叶变换h(t) = /cos(2/)脉冲函数的富里H变换:1A/2LAAW) = y(/-/o)+yKf + ./o)Vo/of#第#讲频翅滤波数字图像处理方峻总结：傅氏变换的分类时域为连续函数对应频域为非周期函数，时域为离散函数 对应频域为周期函数，反之亦然。因此，依据时域和频域 对于连续/离散、周期/非周期的不同组合，分为四种情况:/(t)连续,期非周期，离散T连续,非周期期，连续离散,期周期，离散离散，非周期周期，连续周期函数的 傅立叶级数 非周期函数的 傅立叶变换 离散傅立叶变换(DFT)序列的傅立叶变换 O1F(

10、“)傅氏变换的分类1(/)10 ( 0(a)连续时间与连续频率4)/1非周期函数的 傅立叶变换泌(妙)|、o7)dzzdvF(u,v)=R (u, v)寸/u,v)幅度谱:相位谱:F (u ? v) = JR1 (u 5 v) + I2 (u.v)(w ? v) = arctan#第五讲频率域滤波数字图像处理方峻二维方波的傅立叶变换IF(?叭1#第五讲频翅滤波数字图像处理方峻第五讲频翅滤波数字图像处理方峻二维傅立叶变换图例Sine wavesmall squareGaussianImpulses第五讲频率域滤波数字图像处理方峻二维正弦信号变换:时域峰值间隔越大,频 谱分量越低正弦信号频率变化图 像的傅里叶变换第五讲频率域滤波数字图像处理方峻o50100127U第五讲频率域滤波数字图像处理方峻不同频率的正弦信号的傅立叶变换结果F(u)竿Y Axis 21.116e84672e-15050 100F(U)3.913443Y Axis 211.11 8e43787e-14 50100Y AxisOl0.050.17S091V 70.15o50100127U第五讲频率域滤波数字图像处理方峻口二维离散傅立叶变换(DFT)对于二维傅立叶变换，其离散形式为：M-lN-1F(u, v)/(X,刃0一浪冗(ux/M+uy/N)x=0 y=0逆