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1、最值与范围问题-教师版一.综述圆锥曲线中的最值问题,主要考查直线与圆锥曲线相交时的弦长面积等量的最值.范围问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的几何性质，参数多与直线方程或圆锥曲线方程相关.二.例题精讲 破解规律例1. 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A. 16 B. 14 C. 12 D. 10解析: 题目给出抛物线的两条相互垂直的焦点弦,可以利用两直线垂直斜率关系以及焦点弦长公式来解决.答案:A解析:设，直线的方程为，联立方程，得， ，同理直线与抛物线的交
2、点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号.方法二: 利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以点评: 本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出|AB|+|DE|,然后利用基本不等式求最值. 规律总结: 利用基本不等式求最值的思路: 建立目标的表达式，然后结合基本不等式现学现用1: 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的左右焦点分别为F1,F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点1,32（I）求椭圆C的标准方程；（）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E,F两点（E,F与A点不重合），且满足AEAF，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最
3、大值解析：（）因为抛物线的焦点为，抛物线与椭圆C有相同的焦点所以，又椭圆过点，所以 解得.则椭圆的标准方程为；（）设，直线AE的方程为，代入椭圆方程，可得由，可得，由于AEAF，只要将上式的换为，可得，由P为EF的中点，得则直线AP的斜率为，当时，；当时，再令，可得，当时，；当时，当且仅当时，取得最大值；综上可得直线AP的斜率的最大值为例2. 设A、B是椭圆C： 长轴的两个端点，若C上存在点M满足AMB=120，则m的取值范围是A. B. C. D. 答案:A解析: 设焦点在x轴上，点M(x，y)过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAM
4、Btan120，由1可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,19，)故选A.点评:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题利用正切的和角公式进行转化.同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论规律总结: 建立目标函数(或者多个变量的方程)，然后根据目标函数(或方程)的特征选择相应的方法进行求解现学现用2: 已知动点E到点A与点B的直线斜率之积为，点E的轨迹为曲线C（1）求C的方程；（2）过点D作直线l与曲线C交于， 两点，求的最大值解析：（1）设，则因为E到点A，与点B的斜率之积为，所以，整理得
5、C的方程为 （2）当l垂直于轴时，l的方程为，代入得， 当l不垂直于轴时，依题意可设，代入得因为，设， 则， 综上 ，当l垂直于轴时等号成立，故的最大值是例3: 设抛物线的准线与轴交于,抛物线的焦点为，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.（）求抛物线的方程和椭圆的方程；（）若，求的取值范围.分析：() 设椭圆的标准方程为，根据椭圆上的点及离心率可得关于的方程组，求得可得椭圆的方程；根据椭圆的焦点坐标可得，进而可得抛物线方程()设出直线的方程，与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系及弦长公式可得，再根据的范围，利用函数的有关知识求得的范围即可答案:()
6、椭圆的方程为；抛物线的方程是： .() .解析：（）设椭圆的标准方程为，由题意得，解得，椭圆的方程为，点的坐标为,抛物线的方程是.（）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，由消去x整理得（*）直线与抛物线交于两点，设， ，则， ,由消去得： ，即，将代入上式得，单调递减，即，即的取值范围为点评：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值规律总结: 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系
7、；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围现学现用3: 过点Mm,0m0作直线l，与抛物线y2=4x有两交点A,B，若FAFB0，则m的取值范围是_解析:设直线AB的方程为x=ay+m， 代入抛物线方程得y2-4ay-4m=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 又F（1，0），FA=（x1-1，y1），FB=（x2-1，y2）由根与系数的关系得：y1y2=-4m，y1+y2=4a， x1x2=（ay1+m）（ay2+m）=a2y1y2+am（y1+y2）+m2=-4a2m+4a2m+m2=m2， x1+x2=a（y1+y2）+2m=4a2+
8、2m， FAFB=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=m2-6m-4a2+10，m2-6m+14a2 恒成立，m2-6m+10， 解得3-22m0，b0)焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使APB=60，则双曲线离心率的最大值为_答案:233解析:由题意，设A(a,0),B(-a,0),P(c,y)，则kPA=yc-a,kPB=yc+a ，因为在l上存在一点P，使APB=60，所以关于y的方程|yc-a-yc+a1+y2c2-a2|=3有实数根，即关于y的方程3y2-2ay+3(c2-a2)=0有实数根，则=4a2
9、-12(c2-a2)=4(4a2-3c2)0，解得4a23c2，即e233，即双曲线离心率的最大值为233.3. 已知椭圆 的左、右焦点分别为,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.答案:(1) ；(2) .解析：(1)由已知得，解得，椭圆的方程为.(2)设， 的中点为，点，使得,则.由得，由，得.，.，即，.当时， （当且仅当，即时，取等号），；当时， （当且仅当，即时，取等号），点的横坐标的取值范围为.四.课后作业 巩固内化1. 连结双曲线与的四个顶点的四边形面积为，连结四个焦点的四边
10、形面积为，则的最大值是（ ）A. 2 B. 4 C. D. 答案:C解析:设双曲线的右顶点为，其坐标是，右焦点为，坐标为；设双曲线的上顶点为，坐标是，上焦点为，坐标为， 为坐标原点，则， ，故选C.2. 已知双曲线（，），、是实轴顶点，是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点（），使得（）构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D答案:B分析：由题意，则直线的方程为，在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，故选：B3. 在ABC中，已知B(-1,0)，C(1,0)，且sinB+sinC=2sinA（1）求顶点A的轨迹
11、M的方程（2）直线l过点B(-1,0)，且与轨迹M交于P，Q两点，求CPQ的内切圆面积的最大值答案:（1）x24+y23=1（2）916解析：（1）sinB+sinC=2sinA，b+c=2a，|AC|+|AB|=4，x24+y23=1（2）内切圆面积最大，即内切圆半径最大，SCPQ=12rPQ+12rQC+12rPC，=12r(PQ+QC+PC)，=12r8=4r，即CPQ面积最大时，r最大，设直线为l:x=ky-1，带入椭圆方程得:(4+3k2)y2-6ky-9=0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则S=122c|y1-y2|=12k2+13k2+4，Smax=3，此时r=34，内切
12、圆面积最大为9164. 如图，已知抛物线，点， ，抛物线上的点 ，直线与轴相交于点，记， 的面积分别是， .（1）若，求点的纵坐标；（2）求的最小值.答案:（1）；（2）.解析：（1）因为，.由，得.即，得（2）设直线： ，则，由，知.联立，消去得，则， .所以 ， ，点到直线的距离 .所以 故当时， 有最小值.方法2：设（），则，所以直线： ，则.又直线： ， .则点到直线的距离为，点到直线的距离为所以 .故当时， 有最小值.5. 如图，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右顶点分别为A,B，M,N是椭圆E上异于A,B的两点，直线AM,BN交于点P(4,t)，且P位于第一象限（）若直线MN与
13、x轴垂直，求实数t的值；（）记PMN,PAB的面积分别是S1(t),S2(t)，求S1(t)S2(t)的最小值答案:（）t=3；（）t=3时，(S1(t)S2(t)min=34.解析：()设M(x0,y0),N(x0,-y0)，故直线AM的方程为y=y0x0+2(x+2)，直线BN的方程为y=y02-x0(x-2)联立y=y0x0+2(x+2)y=y02-x0(x-2)得：P(4x0,2y0x0) 4x0=4，解得：x0=1,y0=32 , 代入直线AM可得t=3 ()直线AM的方程为y=t6(x+2)，代入椭圆的方程并整理得：(t2+27)x2+4t2x+(4t2-108)=0 解得M(54-2t2t2+27,18tt2+27) 直线NB的方程为y=t2(x-2)，代入椭圆的方程并整理得：(t2+3)x2-4t2x+4t2-12=0 解得N(2t2-6t2+3,-6tt2+3)所以S1(t)S2(t)=|PM|PN|PA|PB|=|yM-yPyA-yP|yN-yP|yB-yP|=|18tt2+27-t-t|-6tt2+3-t-t|=t2+9t2+27t2+9t2+3 =1-108(1t2+9)2+121t2+9+1当1t2+9=118，即t
