中学不等式证明方法探讨

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1、中学不等式证明方法探讨1 引言不等式是高中数学的重要组成部分，是研究数学问题的重要工具.不等式的应用已参透到函数、三角、数列、解析几何等内容中，学习不等式能够提高学生的逻辑推理能力，从而增强了他们发现问题解决问题的能力.随着科技的发展，不等式的应用在现代生产和生活以及科研中的作用表现的更为明显.直到17世纪以后，不等式理论才发展起来，成为数学基础理论的重要组成部分，经过许多数学工作者的努力，对不等式的研究已经取得重要成果，并运用于工程技术领域，服务于生产.专家、学者们对中学不等式证明方法探讨也一直没有间断过，已有许多研究成果，例如：2010年孙凤芝，李伟给出了构造法对不等式证明方法有益的探讨.

2、2011年赵丽军研究了转化成重要不等式问题以及转化为几何问题做了不同程度的简述.2011年杨香红给出了比较法、综合法、分析法是证明不等式的最基本最重要的方法.2010年汪圭江宜坚研究其函数值的大小或其导函数值的大小将不等式转化成函数问题进行证明.2011年黄东，苟一泉，赵中玲给出了换元法、反证法、放缩法证明不等式的一些归纳总结，但都显得比较片面。为此，对其进行不断归纳与提炼新方法，还有待我们去研究.本文结合不等式的性质，意义，导数及函数单调性等，以例题的形式去说明和体现证明方法和技巧，使得一些证明题的证明方法更加简洁.通过学习证明不等式可以培养逻辑思维、创新思维能力以及掌握类比、归纳、等数学思

3、想和比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等数学方法.对于许多结构新颖的不等式，用一般的方法证明的过程十分繁琐, 或者难以奏效.因此，这种不等式证明通常用非特殊的证明方法,例如：构造法、向量法、求导法、换元法等等.2 预备知识2.1不等式的概念证明不等式是建立在不等式的概念之上的，所以我们有必要先看看不等式的概念，所谓不等式的概念，通常是指:对任意两个实数A与B，若A与B的差是正数（即），则称A大于B；若A与B的差是零（即），则称A等于B；若A与B的差是负数（即），则称A小于B. 不等号或叫做严格不等号，或叫做非严格不等号（相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）.2.2不等

4、式的性质（1）如果，那么；如果，那么. （2）如果，；那么. （3）如果，而为任意实数或整式，那么. （4）如果，那么；如果，那么. （5）如果，,那么;如果，,那么. （6）如果，那么.（7）如果，那么. （8）如果，那么（n为正数）. 2.3几个重要不等式 结论1：如果，那么+ (当且仅当a=b时取“=”号). 定理：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号). 结论2：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号). 结论3：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号). 结论4：如果是非负实数，则(当且仅当时取“=”号，其中，且). 三角不等式： 在三角形中，必然有两边之和大于第三边，即为三角不等

5、式.如:在中边AB、BC、AC，AB+BCAC.3 不等式的证明方法与技巧 3.1比较法（作差法） 在比较两个实数a和b的大小时，可借助-的符号来判断.步骤一般为：作差变形判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.例3.1： 已知,求证.分析: 本题要比较两个多项式的大小左边是关于有二次项的表达式；右边是关于有二次项的的表达式，两边都有相同的平方.因此想到作差变形，提取公因式，再将其配成几个表达式的乘积，借助已知条件判断因式的正负号，达到证明目的.证明: 因为,所以即0则0所以.3.2分析法分析法是假设不等式成立,然后利用不等式的基本性质

6、和条件逐步推演变形.最后得到一个简单明显成立的不等式,而推证又可逆,我们就可以判定不等式成立,这种方法是我们证明不等式的基本方法之一.例3.2：求证：.分析：由题意知，是比较两个数的大小.因为含有无理数，造成直接作差法比较困难.这里就要从证明的结论出发，肯定不等式结论成立，把无理数转化成有理数，对不等式左右两边分别平方变形，以此类推，直到比较两个自然数的大小.证明：假设原不等式成立则，要证. 即证.即 2+，.上面不等式显然成立,而以上各步可逆,故原不等式成立即得.3.3综合法综合法是从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论.也就是“由因导果”. 例3.3：设想、

7、是互不相等的正数，求证：.分析：已知条件只有一个，互不相等的正数，与我们学习过的均值不等式成立的条件相似.可以思考本题是不是与均值不等式有关.求证的结果出现4次方量.如果用作差法移项后，不容易降低次、因式分解、合并同类项比较困难.因此，我们就借助综合法，利用均值不等式解题.证明：由题意得，因为， 所以 因为 同理：， 所以 则 3.4判别式法通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实数根时，判别式的取值范围，求证明所要证明的不等式.例3.4：设、,且，求证：.分析：本题从已知和求证看联系并不大，求证的结果中出现了绝对值和开平方项.这里已知给出的，求证中有项，假如设，则，再把代入中就

8、构造一元二次方法.在利用判别式的取值范围，求证明所要证明的不等式.证明：由题意知：设，则 代入 中得，即因为、，所以，即解得 ，所以 3.5放缩法欲证,可通过适当地放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，或，再利用传递性,达到求证的目的，这种方法叫做放缩法.具体的放缩方式有：公式放缩和利用某些函数的单调性放缩等.常用技巧有：(1)舍去一些正项或负项；(2)在和或积中换大或换小某些项；(3)扩大或缩小分式的分子或分母. 例3.5：已知函数,数列满足:,(1)证明:数列是单调递减数列.（2）证明：.分析：本题以函数、数列为载体，考查不等式证明的基本方法，在证明的过程中，要对所证的不等式适当变形、合

9、理放缩.证明：（1）证明略. 由(1)的证明过程可知，所以 故例3.6：证明不等式 .分析：先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标证明 对任意，都有 3.6数学归纳法例3.7：证明不等式.分析：本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等此题易出现下列放缩错误 这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的。本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法证明 (1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立 (2)假设时，不等式成立，即，当时，所以 当n=k+1时，不等式成立 综合(1)、(2)得 当nN

10、*时，都有1+2 另从k到k+1时的证明还有下列证法 3.7换元法（三角代换）换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题。例3.8：设，求证：.分析：此题变量之间的关系不甚明了，但放在几何中可以表示单位元，这时可以考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数

11、表示.证明：由，设所以所以 例3.9：设，求证.证明：因为 ， 所以可设 其中 所以 因为 所以 而 所以 3.8利用函数的单调性法有些与函数相关的不等式，或者把式子整理后和函数有关.我们可以先求导数，证明导函数的单调性，其次用函数单调性的性质去证明不等式，这就是利用单调性证明不等式的思想方法. 定理3：(函数单调性的判定法)：设函数在上连续，在内可导，（1）如果在内，那么函数在上单调增加；（2）如果在内，那么函数在上单调减少.以上定理中的闭区间换成任何区间（包括无穷区间），结论依然成立.通过函数单调性证明不等式的形如：.具体函数不等式的证明常利用函数的单调性证明，其证明步骤如下：（1）首先可

12、以作辅助函数（通常取不等号两端的函数之差或者之商为辅助函数）；（2）其次求的导数，并在给定区间上确定符号；（3）判定在区间上是单调增加还是单调减少；（4）求出在两端点之一处的极限值或者函数值（一般情况必有一个端点极限或者函数值为零或者其符号确定）；（5）最后用单调性定义证明所需证明的不等式.例3.10：证明不等式：.分析：观察此题，不等式左边是对数，右边是分数.用以上几种方法难以凑效，但是这里我们用到辅助函数，再用上函数单调性的判定法即可证明此不等式.证明：令，则由于函数的导函数为 因此，当时，.由单调性定理知：在内单调递减.又 因此，当时，有即由单调性定理知： 即 .例3.11：已知函数，证

13、明：.证明：函数的定义域为1 当x（1，0）时，0，当x（0，）时，0，因此，当时，即0 令则 当x（1，0）时，0，当x（0，）时，0 当时，即 0， 综上可知，当时，有 3.9利用求极值的方法 如果要证明在某区间上成立，只要求函数的极值.证明即可.利用此基本方法可以证明不等式.例3.12：设为任一常量.试证明不等式：(当时).分析：问题等价于证明(当时)所以只要证明(当时)，或者证明：令(当时) 可得唯一稳定点，所以有 当时，.当时，.所以又因为 当时，即，在内单调递增.当时，,所以，即因此(当时).例3.13：设,求证：.证明：设当时，取最大值当时，取最小值即故 .3.10中值定理法利用

14、中值定理：是在区间上有定义的连续函数，且可导.则存在，.满足来证明某些不等式，达到简便的目的.例3.14：求证：.证明：设，存在，使得， 则 所以 即 .3.11函数构造法在我们学习不等式的证明过程中，常遇到有些证明题看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用的证法一一尝试，均难以达到证明目的.这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构特征着手，在已学过的知识基础上进行更为广泛的联想假设，试着构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明. 用构造辅助函数法证明不等式，难点在于如何构造函数和构造的函数必须是单调函数.根据证明题的条件或结论所具有的特征，以已知条件中的元素为元件，以学过的数学关系为支架，通过思维联想构造出一种相关的函数式子，一种新的数学形式，使问题得以转化解决，间接达到证明不等式的目的.（1）直接构造函数直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性，再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.例3.1