高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末检测 新人教A版选修11

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1、 高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末检测 新人教A版选修1-1一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1(2014青岛质检)双曲线1的渐近线方程为(B)Ayx ByxCyx Dyx解析:由题意得双曲线1的渐近线方程为0,即yx,故选B. 2已知双曲线1的一条渐近线方程为yx,则双曲线的离心率为(A)A. B.C. D.解析:由,得ba.平方得b2a2.又b2c2a2.代入,解得.3(2014浙江质检)椭圆x2my21的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为(A)A. B.C2 D4解析:由椭圆x2my21,得x21,焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,21,解得m.4若抛

2、物线y22px的焦点与椭圆1的左焦点重合,则p的值为(D)A2 B2C4 D6解析:椭圆的左焦点为(2,0),抛物线的焦点为,3,p6.5设O为坐标原点,F为抛物线y24x的焦点,A是抛物线上一点,若4,则点A的坐标是(B)A(2,2) B(1,2)C(1,2) D(2,2)解析:F(1,0),设A(x0,y0)是抛物线上一点,则有y4x0.又4,(x0,y0)(1x0,y0)4,化简得,x3x040.解得x01,x04(舍去)将x01代入抛物线方程,得y02.6曲线1(m6)与曲线1(5m9)的(A)A焦距相等 B离心率相等C焦点相同 D准线相同解析:m6,曲线1为焦点在x轴上的椭圆c2(1

3、0m)(6m)4,c2,2c4.又5m9,曲线1为焦点在y轴上的双曲线,即1.c2(9m)(m5)4,c2,2c4.7(2014东三省四市联考)以椭圆1的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为(D)Ayx ByxCyx Dyx解析:依题意得双曲线的实轴为2a22,焦距2c24,b,因此该双曲线渐近线方程是yxx,故选D.8双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m为(A)A B4 C4 D.解析:将双曲线方程化为标准形式,得1.a21,b2.根据题意,得2b22a.即24.m.9已知两点M(2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|0,则动点P(x,y)的轨迹方程

4、为(B)Ay28x By28xCy24x Dy24x解析:设点P(x,y),|MN|4,|MP|,又(4,0)(2x,y)4(2x),44(2x),化简得,y28x.10已知双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C)A(1,2) B(1,2)C2,) D(2,)解析:双曲线的渐近线方程为yx,又倾斜角为60的直线的斜率为,所以根据题意,得,即ba.两边平方得,b23a2.又b2c2a2,2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11已知双曲线中心在原点,一个焦点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长

5、之比为54,则双曲线的标准方程是_解析:可知焦点在x轴上,c3,又2c2b54,5b4c12,b.根据a2c2b29,故所求的双曲线方程为1.答案:112已知抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线yx与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_解析:设抛物线为y2kx,与yx联立方程组,消去y,得:x2kx0,x1x2k22,故y24x.答案:y24x13(2014郴州二监)过抛物线y24x焦点的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|10,则AB的中点P到y轴的距离等于_解析:抛物线y24x焦点为E(1,0),准线为x1,过点A,B,P分别作准线的垂线,垂足分别为

6、点C,D,F,PF交y轴于点H,如图所示,则PF为直角梯形ABCD的中位线,|PF|5,故|PH|PF|14,即AB的中点P到y轴的距离等于4.14. ax2by21与直线yx1交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线斜率为,则_解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则axby1,axby1,可得:a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0,从而得(1).答案:三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.(12分)已知A(2,0)、定圆M:(x2)2y225,P是圆上的动点,线段AP的垂直平分线交MP于Q,求Q的轨迹方程解析:如图,|QP|QA|,|QM|QA|QM|QP

7、|MP|5.动点Q的轨迹是椭圆,又2a5,c2,b2a2c2,Q的轨迹方程为1.16(12分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线1(a0,b0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点P,求抛物线的方程和双曲线的方程解析:依题意,设抛物线的方程为y22px(p0),点P在抛物线上62p.p2,所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上,c1,即a2b21,又点P在双曲线上,1,解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.17(14分)已知抛物线方程为y22x,在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点若OMON

8、,求直线l的方程解析:设直线l的方程为ykx2,由消去x得ky22y40.直线l与抛物线相交,解得k且k0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2,从而x1x2.OMON,x1x2y1y20,即0,解得k1符合题意,直线l的方程为yx2.18(14分)已知椭圆1及直线l:yxm,(1)当直线l与该椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值解析:(1)由消去y,并整理得9x26mx2m280.上面方程的判别式36m236(2m28)36(m28)直线l与椭圆有公共点,0,据此可解得2m2.故所求实数m的取值范围为2,2(2)设直线l与椭圆的交点为A(x

9、1,y1),B(x2,y2),由得:x1x2,x1x2,故|AB|.当m0时,直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.19(2014海淀二模)(14分)已知椭圆G的离心率为,其短轴两端点为A(0,1),B(0,1)(1)求椭圆G的方程;(2)若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点,直线AC,BD与x轴分别交于点M,N,判断以MN为直径的圆是否过点A,并说明理由解析:(1)由已知可设椭圆G的方程为1(a1)由e得e2,解得a22,所以椭圆的标准方程为1.(2)设C(x0,y0),且x00,则D(x0,y0)因为A(0,1),B(0,1),所以直线AC的方程为yx1.令y0,得xM,所以M.同理直线

10、BD的方程为yx1,求得N.,所以1,由C(x0,y0)在椭圆G:y21上,所以x2(1y),所以10,所以MAN90,所以以线段MN为直径的圆不过点A.20(14分)(2014东三省四市联考)已知圆M和圆P:x2y22x100相内切,且过定点Q(,0)(1)求动圆圆心M的轨迹方程;(2)不垂直于坐标轴的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线经过点,求AOB(O为原点)面积的最大值解析:(1)由已知|MP|2|MQ|,即|MP|MQ|2,且2大于|PQ|,所以M的轨迹是以(,0),(,0)为焦点,2为长轴长的椭圆,即其方程为y21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y

11、2)且过AB的直线l的方程为ykxt,代入椭圆方程得(3k21)x26ktx3t230,因为方程有两个不同的解,所以4(9k233t2)0,即3k21t2,又因为x1x2,所以,所以,化简得到3k214t,综合得0t4,又原点到直线的距离为d,|AB|x1x2|,化简得SABO,所以当t2,即k时,SAOB取最大值.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1椭圆y21的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则| (C)A.B.C.D42抛物线的顶点和椭圆1的中心重合,抛物线的焦点和椭圆1的右焦点重合,则

12、抛物线的方程为(A)Ay216x By28xCy212x Dy26x3双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是(C)Am Bm1 Cm1 Dm2解析:由e21m2,m1.4已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程是yx,它的一个焦点在抛物线y224x的准线上,则双曲线的方程为(B)A.1 B.1C.1 D.1解析:本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程,属于容易题依题意知a29,b227,所以双曲线的方程为1.5(2013惠州一调)已知实数4,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线y21的离心率为(C)A. B.C.或 D.或7解析:因4,m,9成等比数列,则m236,m6.当m6时圆锥曲线为椭圆y21,其离心率为;当m6时圆锥曲线为双曲线y21,其离心率为,故选C.6在y2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P的坐标是(B)A(2,1) B(1,2) C(2,1) D(1,2)解析:如图所示,直线l为抛物线y2x2的准线,F为其焦点,PNl,AN1l,由抛物线的定义知,|PF|PN|,|AP|PF|AP|PN|AN1|,当且仅当A,P,N三点共线时取等号,P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1,则可排

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