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1、布朗运动在股票定价中的应用一、 原则布朗运动,法国数学家Baelier独立地简介了布朗运动,她在自己的博士论文中用此来建立股票和商品运动的模型。布朗运动:价格集合，若对任意非负的实数,，随机变量独立于时刻及此前的所有价格，并且它是一种均值为，方差为的正态随机变量，则称价格集合为漂移参数为，方差参数为的布朗运动。用布朗运动建立的股票或商品价格运动的模型存在某些缺陷,例如：、既然股票价格是一种正态随机变量，那它在理论上就可以取负值，但这与实际实不符的。、在布朗运动的模型里,假定无论初始价格为什么值,固定期间长度的价格差具有相似的正态分布。这个假设不太合理,例如一支股票从20跌到$15的概率一般不会
2、与另一支股票在相似时间内从10跌到$5的概率相似。二、 几何布朗运动用表达时刻某证券的价格，若对任何非负实数,(1)随机变量独立于时刻及此前的所有价格;（2)是均值为，方差为的正态随机变量；则称价格集合服从漂移参数为,波动参数为的几何布朗运动。如果证券价格遵循几何布朗运动，那么一旦，的值拟定了，影响将来价格概率分布的只是目前的价格,而与历史价格无关。波及将来时刻后来的价格与目前价格比值的所有概率都与目前价格无关。例如一种证券在一种月之后增长一倍的概率与该证券目前的价格是$10还是20是没有关系的。若随机变量为觉得参数的对数正态分布的随机变量,则。若已知证券的价格为,时刻价格的盼望值仅依赖于几何
3、布朗运动的漂移参数和波动参数,即对于我们有。用表达一种小的时间增量，并假定,在每个时间单位内，证券的价格或者以概率增长倍,或者以概率倍下跌倍,其中，。当获得越来越小时，价格的变化就越来越频繁，相应的价格集就近似为一种几何布朗运动。下证当获得越来越小时，上述简朴过程趋近于几何布朗运动。一方面定义变量，若时的价格上涨，则令，否则令。证券价格在前次变化过程中上涨的次数为,下跌的次数为,因此在时刻的证券价格可以表达为：。将上述形式整顿一下，,若令，则上述方程可以改写为,两边取对数，得：。既然,则随着趋于，合式越来越接近正态随机变量,因此是一种正态随机变量并且,。目前求方差,由于，因此。当变得越来越小时
4、,(同理可知）就变成均值为，方差为的正态随机变量。又由于前后价格的变化是独立的且每次变化时都以同样的概率增长或者减少，因此独立于时刻此前的价格变化。因此当趋近于0时，几何布朗运动的两个条件都满足，这证明该模型的确变成了一种几何布朗运动。三、 分数布朗运动大多数股票市场中的现象都体现了尖峰厚尾、自相似和长期有关等分型特性,这导致了大量由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场。资我市场提出分数布朗运动过程，已经成为弥补上述模型最简朴的措施。分数布朗运动是布朗运动的推广。布朗运动指的是无有关性的随机游动,而分数布朗运动的特性是具有持久性和长期记忆性。下面我们就来讨论股票价格是如何基于分数布朗运动进行
5、演化的。设随机量Ri=1 =字“”-1 =“花” , 考虑时间段,细分，令,从而有分割，定义随机量以及序列:，, 当上定义有偏的随机游走： 事实上是由通过线性插值形成的途径。下面我们引进原生资产价格的相对值:，其中为贴现因子,即对于一张在时刻面值为1的股票,若股价平均变化幅度为,则它在时刻的盼望价值为。事实上，设是一种风险资产股票的盼望价值,，对于，在时段，二叉树模型可以表达为设,令，其中为常数，它表达原生资产价格的波动率。对于鞅测度Q:，有,因此如果忽视的高阶无穷小量,在时间段内原生资产的相对价格的变动，上扬和下跌具有同样的概率1/,而它的回报因此不计的高阶小量,我们有,由泰勒展开,不计的高
6、阶小量,通过整顿可以得到:,根据定义，,因此在对分割后来，在每一种分点,，即,把它用线性插值连成途径,并记作,那么,，令，其中的极限为，用记的极限函数,我们有：,即，这表达股票价格演化是一种持续随机过程,它的对数用分数布朗运动来刻画。由上式可得:。下面对某些模型参数进行求解。漂移率表达的是通过一段时间后，股价的平均变化幅度，以年为单位来计量，用比率的形式来表达,即,波动率反映的是相对回报率的不拟定性，有。假设我们得到在一段较长时间内的股价数据记录,这段区间由个长度相等的子区间构成。再假设我们懂得每个子区间末的股价，将股价表达为:=第个子区间的股价，样本观测值为个。具体环节如下：第一步，计算下列时间序列值：，第二步,计算,，这里和是来自市场实际数据变化率样本均值和样本方差。第三步,解方程和，得到和,从而得到和的值。我们根据实际的数据运用典型的分析法得出的值，然后模拟分数布朗运动，运用上述公式求出和的值；最后根据用蒙特卡洛模拟模拟出股票价格的变动。
