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1、仅供个人参考For pers onal use only in study and research; not forcommercial use空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1 棱长为2的正四面体的表面积是（C ）.A. 3B . 4C. 4 3 D . 16解析 每个面的面积为：1x2X2X三3二3. 正四面体的表面积为：4 3.2. 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（B ）.A. 2倍B . 2辺倍C.2倍D.守2倍解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V=彳冗戌，知体积扩大到原来的2 2倍.3.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体
2、的体积为1425284C.28。解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示.这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V= V长方体一V正三棱锥=4X4X6 1x X2X2 X2=2843 .4 .某几何体的三视图如下，则它的体积是A)A. 8 号 B . 8专 C . 8 2n2n 2B).正视图匐视图140DP俯规图俯规图2解析由三视图可知该几何体是一个边长为的正方体内部挖去一个底面半3 1径为1，咼为2的圆锥，所以V= 2 3X2nX 2=82T.5.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1,则该几何佣视图E33-n-n体的体积为(A)
3、A . 24 2冗 B . 24 C . 24 n D . 24正視帼不得用于商业用途仅供个人参考( 2匚 n、95 cmB.严-习八2匚 n 94+ 1 cmD.95+w 1 2丿 2丿A.C.2 cm2 cm正视图借视图2,3,4，半圆柱的，则棱锥S-ABC在厶SADn SBD中，由已知条件仅供个人参考据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为:13 n底面半径为1,母线长为3,故其体积V= 2X 3X4 2x n xlx 3= 24.6. 某品牌香水瓶的三视图如图（单位：cm）,则该几何体的表面积为（ C ）解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱
4、、,.,.n下面是一个四棱柱.上面四棱柱的表面积为2X 3X 3+ 12X1 4冗1=30玄;中间部分的表面积为2n XX 1= n，下面部分的表面积为2X4X4+ 16X 2于=64-土 故其表面积是94 +寺7. 已知球的直径SC= 4, A，B是该球球面上的两点，AB= 3, / ASC=Z BSC= 30 的体积为（C）.A. 3 3 B . 2 3 C.3 解析 由题可知AB定在与直径SC垂直的小圆面上，作过 AB的小圆交直径SC于D,设SD= x， 则DC= 4 x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD和 C-ABD,所以/ DCBZ DCA= 60，在可得AD= BD-x，又
5、因为SC为直径，所以/ SBC=Z SAG 90AD= BD= .3,所以三角形 ABD为 BDC中，BD= 3(4 x)，所以fx = 3(4 x)，所以 x = 3,1正三角形，所以V= SaabdX 4=3.二、填空题8. 三棱锥PABC中, PAL底面ABC PA= 3,底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体 积等于筋解析 依题意有，三棱锥PABC的体积V= 1saabc|PA = 3x弓3X22X 3=J3.9. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3 : 2.解析 设圆柱的底面半径是r,则该圆柱的母线长是2
6、r,圆柱的侧面积是2n r2r = 4n r2,设球的 半径是R,则球的表面积是4n氏，根据已知4n 4n r2，所以R= r.所以圆柱的体积是n r22rCl图10.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1的正方形和4个边长为1的正三角形解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为1,斜高为,连接顶点和底面中心即为高，可求得高为 ，所以体积 v=卜1 x 1x2=-.232611.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时， 球的表面积与该圆柱的侧面接圆柱的侧面积之差为2n (2)求该安全标识墩的体积.解析(1)侧视图同正视图，如图所示： 该安全标识墩的
7、体积为不得用于商业用途343=2n r3,球的体积是勺冗r3,所以圆柱的体积和球的体积的比是2n r34-3= 3：3n r2.组成，则该多面体的体积是_积之差是2 n R2解析 由球的半径为R,可知球的表面积为4n氏.设内接圆柱底面半径为r，高为r2+ h22h,则h2 + r2= R.而圆柱的侧面积为2 n r2h = 4n rh 4 n 2 = 2n R(当且仅当r = h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2 n R2,此时球的表面积与内1223V= Vpefg+ Vbcdefg= 3 x 40 x 60+ 40 x 20= 64 000(cm ).3俯视图12.如图，已知正三棱柱
8、 ABC/BC的底面边长为2 cm,高为5 cm则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1的最短路线的长为_13cm.iE视图恻视图14 . 一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为.3,宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，贝冋知所求最短路线的长为52 + 122 = 13 (cm).三、解答题13.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1所示，墩的上C!Dn(1)请画出该安全标识墩的侧视图;B囲1半部分是正四棱锥PEFGH下半部分是长
9、方体ABCDEFG图2、图 侧觇e化3分别是该标识墩的正视图和俯视图.仅供个人参考的矩形.（1）求该几何体的体积V; （2）求该几何体的表面积S.解析（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为 1的正方形，高为 3，所以V= 1X1X 3= 3.A1D1 平面 ABCD CDL平面 BCC1B,1（2）由三视图可知，该平行六面体中，个底高为8和6的矩形，正侧面所以AA1= 2,侧面ABB1A1 CDD1C均为矩形，S= 2X （1 X 1+ 1X 3+ 1X 2） = 6+ 2 3.15.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视图）是 边长为&高为4的
10、等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V； （2）求该几何体的侧面积S. 解析由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为 及其相对侧面均为底边长为8，高为hi的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形，如右图所示.1 1(1)几何体的体积为：V= - S矩形 h=-X 6X 8X 4= 64.33h2= , 42+ 42 =（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h1= ,42+ 32= 5.左、右侧面的底边上的高为:“ 14 2.故几何体的侧面面积为：S= 2X X 8X 5 + X 6X4 2 = 40 +
11、24,2.1. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ 解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，则2心，宾，底面圆的面积是2 a 十2于是全面积与侧面积的比是2 二 a 1 2 二a22 兀剩下的几何体的体积是（）1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是 于是8个三棱锥的体积是丄，剩余部分的体积是-，6 62. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点 相关的8个三棱锥后，2 .解：正方体的体积为1（丄丄）13 22 2248 3 .个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6
12、cm和8cm，高是5cm， 则这个直棱柱的全面积是。3. 答案：148 cm2解：底面菱形中，对角线长分别是6cm和8cm，所以底面边长是5cm， 侧面面积是4X 5X 5=100cm2，两个底面面积是48cm2， 所以棱柱的全面积是148cm2.4. 已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1： 2,则它们的高之比为。仅供个人参考4.答案：2 2 : ,5解：设圆柱的母线长为I，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2,所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是3互和竺,3由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式2二 r所以它们的高的比是J
13、2迈2 (21 )2 . 5 -(3)1cm, 2cm, 3cm,则此棱锥的体积5. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为35. 答案：1cm（如长度为1cm，2cm的两条）确定的侧面1，高为3，解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱 看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是则它的体积是1 X 1X 3=1cm3.36. 矩形两邻边的长为a、b,当它分别绕边a、b旋转一周时,所形成的几何体的体积之比为 6. 答案：ba解：矩形绕a边旋转，所得几何体的体积是V1=n2a,矩形绕b边旋转，所得几何体的体积是 =n2b.所以两个几何体的体积的比是2 -16.四面体的六
14、条棱中，有五条棱长都等于a. ?3a2 x2?x2V2兀 a b a（1）求该四面体的体积的最大值； 当四面体的体积最大时，求其表面积.解析 如图，在四面体 ABC即，设A吐BC= C* AC= BD= a, AD= x，取BC的中点为E，连接BP、EP CP得到AD丄平面BPC二VA-bcd= VA-bpc汁VD-bpc=1 - Sabpc- AP+ 芬BPC- PD= 3 Sabpc- AD= 3.2 a、/a2_4_ - x= 3333244a3a2161w石= 7a3（当且仅当x = a时取等号）.该四面体的体积的最大值为-a3.12 28 28 由 知， ABCn BCD都是边长为a的正三角形，ACD是全等的等腰三角形，其腰4丿长为 a，底边长为-26a，A S表=23a2+ 2Xxax3 2610a3 215a2 2 3 + 15 2=亍+亍=亍+=4 a.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in st
