《来自官方线性代数配套ppt上知识点总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《来自官方线性代数配套ppt上知识点总结（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、行列式1 全排列把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列(或排列)2 逆序数在一个排列(v2-7z-4-/w)中，若数则称这两个数组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.3 计算排列逆序数的方法方法1：分别计算出排在1,2,S前面比它大的数码之和，即分别算出1,2,这个元素的逆序数，这个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法2：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数4 对换定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为
2、一次对换.将相邻两个元素对调，叫做相邻对换定理：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论：奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.5 n阶疗列式的定义其中PP1-P.,为自然数1,2,.的一个排列；伪这个排列的逆序数；工表示对1,2,的所有排列取和阶行列式Q亦可定义为D=工（一1）&1%4”其中伪行标排列PPP”的逆序数.6 n阶打列式的性质1）行列式与它的转置行列式相等，即d=dt.2）互换行列式的两行（列），行列式变号.3）如果行列式有两行（列）完全相同,则此行列式等于零.4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数点等于用数/乘此行列式.5）行
3、列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.6）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零7）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和8）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变.7疗列式按行（列）艮开余子式与代数余子式在刑介行列式中，把元素/所在的第2行和第/列划去后，留下來的-1阶行列式叫做元素勺余子式，记作/久;记力疔（一I）/沪仏叫做元素的代数余子式8九拉默法则如果线性方程组aXnx,rbv$21才1+闵才2+N”X=方2，的系数行列式Q工0,“1不+么2才2+ar,x=bn、那
4、么它有唯一解矿乡八12,.其中4X7=1,2,，“）是把系数行列式Q中第/列换成常数项kbb”所得到的行列式克拉默法则的理论价值211不+彳2疋+_+彳兀=厶，才1+心北+0才”=方2，的系数行列式go如果线性方程组Gi丸+么2才2+annx=b那么它一定有解，且解唯一定理：如果上述线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零定理:如果齐次线性方程组那么它没有非零解.务不+彳2閃+Q”禺=，0】龙+如旳+alnX=，的系数行列式Oh0.务龙+么2不+Z才”=定理：如果上述齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零矩阵及其运算1 矩阵的定义Cl”0”QiiCln由mx个数伸=1,2
5、,/;7=1,2,-“）排成加行列的数表&=必1处叫做刃行列矩阵，简称以矩阵其中协个数叫做矩阵/的元素,/叫做矩阵&的第z行第/列元素.元素是实数的矩阵叫做实矩阵.元素是复数的矩阵叫做复矩阵式可简记为&=（爲）”呦或八（），以矩阵力也记作4“2 方阵列矩阵行矩阵对（1）式，当心时，/称为阶方阵aC只有一列的矩阵&=叫做列矩阵;IO”丿只有一行的矩阵&=匕a.N）叫做行矩阵3 同54矩阵和相等矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵如果厦=（如）与方=（馆）是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即珀=bu（?=1,2,2=1,2,）.那么就称矩阵/与矩阵勿tl等,记作&=於4 零矩
6、阵草位矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作o主对角线上的元素都是1,其余元素都是零的阶方阵，叫做阶单位阵,简记作$5 矩阵相加设&=（初昨，B=（册）协”为两个同型矩阵，矩阵加法定义为N+方=（+内L”,N+册尔为力与册和交换律：A+B=A结合律：（力+0）+?=/+（方+G设厦=（“,记-力=（-励），-虫称为矩阵N的负矩阵，从而有N+（-0=O并规定A-B=N+（-方）6 数乘矩阵数a与矩阵&的乘积记作/U或曲，规定为u=ax=（A心运算规律=/（/）（几+“）力=总+lA几（&+B）kA+hB7 矩阵相乘设&=（如）皿=（力派”，规定力与酗乘积是一个刃X矩阵O=“S其中G=勿A/+02b
7、ijcii：叽=工gb认1,2,?；/=1,2,?7）,记作C=ABci运算规律14B）C=ABCgB）=Q4B=AQ4,（其中几为数）4C）=4B+AC,（方+C）A=BA+CAEm_4m*n_E”8 方阵的运界n阶方阵的幕设&是阶方阵，定义其中礙正整数（/）/，其中久彷正整数一般地/廿方阵的行列式由阶方阵&的元素所构成的行列式，叫做方阵力的行列式，记作制或det/运算规律设a为数，&，方为阶方阵，则阳=几制；H=HW9 一些特殊的矩阵转置矩阵把矩阵&的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做&的转置矩阵，记作/（力+新=/+比=A（；佔=氏2对称矩阵设&为阶方阵，如果/=N,则称/为对称矩阵反
8、对称矩阵设&为阶方阵，如果Z=-x则称&为反对称矩阵幕等矩阵设&为阶方阵，如果/=力,则称虫为幕等矩阵对合矩阵设&为阶方阵,如果/=则称&为对合矩阵正交矩阵设&为阶方阵，如果/4=则称&为正交矩阵对角矩阵设&为阶方阵，如果除了主对角线以外，其余元素全为零，则称/为对角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵伴随矩阵AxAiAa行列式同的各元素的代数余子式所构成的方阵a=A也叫做方阵力的伴随矩阵.AhAinAhh伴随矩阵具有重要性质,aa=aa=同10逆矩阵设&为阶方阵,如果存在矩阵B加B=B4=E、定义：则称矩阵&是可逆的
9、（或非奇异的、非退化的、满秩的）且矩阵册尔为力的逆矩阵.若力有逆矩阵，则N的逆矩阵是唯一的，&的逆矩阵记作/相关定理及性质方阵/可逆的充分必要条件是同工0若矩阵&可逆，则（/）=4、（AX）=/（几工。）；（y）_1=3若同阶方阵厦与夕都可逆，那么力夕也可逆，且M=QAX逆矩阵的运算法则（测=丄/（心0）k（M尸=BQ推广（4&2凤心尸=心3的（打=（丹11块矩阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证.分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似矩阵的初等变换与线性方程组1 初符变换的定义换法变换：对调矩阵的两行（列），记作严八C严C）倍法变换：以数斤工0乘某一行（列）中的所有元素，记作丫
10、心c沖消法变换：把某一行（列）所有元素的冷加到另一行（列）对应的元素上去，记作ri+kFjlci+kcj）以上三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换2 矩阵的咎价如果矩阵/经有限次初等变换变成矩阵厶就称矩阵&与殆价，记作厦方反身性：力&；对称性：若力2则BA、传递性：若&方,方C则&U3 初符矩阵由单位矩阵e经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵（1）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵（人力（2）倍法变换：以数/（非零）乘某行（列），得初等矩阵EQE（3）消法变换：以数/乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵0伙）4 打阶樺器矩阵对矩阵进行
11、初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为o；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.5 行最简形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵其特点是：非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其它元素都为0.6 矩阵的标准疽对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0.（EO任何一个刃x矩阵,总可以经过初等变换（行变换和列变换），化为标准形刁=3o）此标准形由刃,三个数完全确定，其中，就是行阶梯形
12、矩阵中非零行的行数所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵7 矩阵的秩定义：在/X矩阵力中，任取/行和矽J,位于这些行列交叉处的护个元素，不改变它们在&中所处的位置次序而得到的祁介行列式，称为矩阵&的祁介子式.定义：设在矩阵&中有一个不等于0的川介子式且所有厂+1阶子式(如果存在的话)全等于0,那么Q称为矩阵力的最高阶非零子式，数，称为矩阵力的秩，记作人(&).并规定零矩阵的秩等于0.8 矩阵秩的性质及定理如果厦中所有厂+1阶子式都为零,WU(X)/;&/)=心；定理：若力厶则Rg=R行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数若力为阶可逆矩阵，则(1) &的
13、最高阶非零子式为国；(2) 心=/；(3) N的标准形为单位矩阵E;(4) 4E.9 lit性方程组k解判别定理定理：元齐次线性方程组乂“=0有非零解o系数矩阵的秩Rg5定理：元非齐次线性方程组Am.x=有解O系数矩阵N的秩等于增广矩阵B=(仏力)的秩.10 线性方程组的解法齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解.11 初等矩阵与初等变换的关系设&是一个/X矩阵，对&施行一次初等行变换，相当于在&的左边乘以相应的丹阶初等矩阵；对&施行一次初等列变换，相当于在&的右边乘以相应的阶初等矩阵.设/为可逆矩阵,则存在有限个初等矩阵P、PwP、使/=PP1推论：/x矩阵/占的充分必要条件是：存在刃阶可逆矩阵尸及阶可逆矩阵0,使得PAO=B.向量组的线性相关性1 向量的定义定义：个有次序的数awa所组成的数组称为维向量.这个数称为该向量的分量，第，个数称为第，个分量./Q维向量写成列的形式，称为列向量，即、an)(Qci=a-维向量写成行的形式，称为行向量，即/=(G，ar，久)向量的相等设d=5、皿、=、bNd=60aLbQ=2、小零向量：分量全为o的向量称为零向量.d=O00(/=1,2,，“)d丰
