《2022年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题40 新信息背景下的数列问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题40 新信息背景下的数列问题（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题40 新信息背景下的数列问题含“新信息”背景的数列问题，往往使人感到是难题.难点通常为：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点.传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”.但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向.三是此类问题的解答题，往往设计成为“连环题”，即前面问题的处理是为了后一问做好铺垫.但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分
2、类讨论，解题难度陡然增加.本专题通过例题说明应对这种“新信息”背景下数列问题的方法与技巧.1、此类问题常涉及的知识点（1）等差数列与等比数列的性质与求和公式（2）数列的单调性（3）放缩法证明不等式（4）简单的有关整数的结论（5）数学归纳法与反证法2、解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路（2）尽管此类题目与传统
3、的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基依然是我们所学的一些基知识与方法.所以在考虑问题时也要注意应用转化与化归思想，向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考查的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.【经典例题】例1.【2018届百校联盟高三TOP20四月联考】已知数列中，定义，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先通过已知求出，再利用裂项相消求和.所以故选C.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理
4、、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.例2.对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：由题意, ，则，很明显n2时,，即，解得
5、：.实数的取值范围为.本题选择B选项.例3.【2018届山东省烟台市高三高考适应性练习（一）】已知在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，若折线所在的直线的斜率为，则数列的前项和为_【答案】【解析】分析：先由题意得到数列的递推关系，然后根据累加法求得数列的通项公式，再结合通项公式的特征选择求和的方法求解即可详解：由题意得直线的斜率为，即，解得当时，直线的斜率为，即，又满足上式，数列的前项和为 点睛：本题将数列与解析几何综合在一起，考查数列的递推关系、数列通项公式和前n项和的求法，解题的关键是根据题意，将其中直线斜率的问题转化为数列的问题，然后再结合数列的相关知识求解例4.【2018届河南省名校
6、压轴第二次考试】在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”将数列进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；.设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前项和为_【答案】【解析】分析：先求出，再找到关系构造数列求出，最后求数列的前n项和得解.详解：，所以=所以，故答案为：点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找的关系，并能找到关系例5.【2018届四川省南充市三诊】在数列中，若 (，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对
7、“等方差数列”的判断：若是等方差数列，则是等差数列；是等方差数列；若是等方差数列，则 (，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为_(写出所有正确命题的序号).【答案】【解析】分析：根据等方差数列的定义an是等方差数列，则an2-an-12=p（p为常数），根据等差数列的定义，可证；验证（-1）n2-（-1）n-12是一个常数；验证akn+12-akn2是一个常数.详解：是等方差数列,(p为常数)得到为首项是，公差为p的等差数列；是等差数列；数列中,，是等方差数列；故正确；数列中的项列举出来是,，故答案为：.点睛：（1）做新定义的试题时要严格按照定义列代数式；（2）验证数列是否为等差数列时，
8、一般可以利用定义法、等差中项法和通项公式法.例6.设数列的前项和为，点均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求使得成立的最小正整数.【答案】（1）；（2）9【解析】试题分析：（1）将点代入函数不等式，得，再根据和项与通项关系求数列的通项公式；（2）先裂项：，再利用裂项相消法求，解分式不等式得n范围，即得其最小正整数.试题解析：（1）点在函数y = 3x2的图象上，a1= s1 =1当 （2） 因此，使得成立的最小整数n为9例7【2018届浙江省金华十校4月高考模拟】已知数列，设，其中表示不大于的最大整数.设，数列的前项和为.求证：（）；（）当时，.【答案】（）见
9、解析；（）见解析. 可证得.结合 ，可证得.则题中的命题成立.试题解析：（iii）由（i）（ii）可得，对任意，成立.（）易求得，于是，所以. .，有， ，.又 ，而 ，.综上，当时，.例8. 已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【解析】分析：（1）整理，得，即，从而；（2）设当，显然不存在正整数，使得，舍去；当，对称轴为，此时；当，开口向下，对称轴为，此时只需或，即综上，或.点睛：本题主要考查数列的递推关系求通项、二次函数的性质、分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中
10、数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.例9.【2018届江苏省南京市三模】若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“ 数列”（1）若数列的前项和，求证：数列为“ 数列”；（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；（3）若数列为“ 数列”，且对于任意，均有，求数列的通项公式【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】分析：（1）先
11、利用项和公式计算出an4n2，再利用“ 数列”证明.(2)利用“ 数列”的性质求的取值范围.(3)先证明数列an为等差数列，再转化anaaan1，再转化为n(2t2t)t23t1，n(t2t2)2tt21，分析得到公差t，求出数列的通项公式.详解：（1）当n2时，anSnSn12n22(n1)24n2， 又a1S12412，所以an4n2 所以an|an1an2|4n244(n1)2为数列an的第n1项， 因此数列an为“T 数列” （2）因为数列an是公差为d的等差数列， 所以an|an1an2|a1(n1) d|d| 因为数列an为“T 数列”， 所以任意nN*，存在mN*，使得a1(n1
12、) d|d|am，即有(mn) d|d| 若d0，则存在mn1N*，使得(mn) d|d|，若d0，则mn1由anaaan1，得1(n1)tt2(2n1)t1nt， 整理得n(2t2t)t23t1， n(t2t2)2tt21 若2t2t0，取正整数N0，则当nN0时，n(2t2t)(2t2t) N0t23t1，与式对于任意nN*恒成立相矛盾，因此2t2t0同样根据式可得t2t20，所以2t2t0又t0，所以t经检验当t时，两式对于任意nN*恒成立，所以数列an的通项公式为an1 (n1)点睛：（1）本题主要考查等差数列，考查新定义“T数列”，考查学生理解新定义及利用新定义解题的能力，考查学生分
13、析推理能力. (2)本题的难点在第（3）问，得到n(2t2t)t23t1， ，n(t2t2)2tt21， 后如何得到公差t的值，这里作为恒成立问题来探究t的值.例10.【2018届北京市海淀区二模】如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得 ”，则称数列具有“性质”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为（）若，公差，判断数列是否具有“性质”，并说明理由； （）若数列具有“性质”，求证：且；（）若数列具有“性质”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由.【答案】（）不具有性质；（）证明见解析；（）.【解析】分析：（）利用举反例的方法证明数列不具有“性质”. （）利用反证法证明 且
14、. （）先通过分析得到,再分类讨论得假设，则对任意的，. 设，则，矛盾！假设，则存在正整数，使得设， ，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾.假设，则存在正整数，使得设， ，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾,综上， （）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数，这与数列具有“性质P”矛盾，故由题意知，是数列中的项，故是数列中的项，设，则，即因为，故是的约数所以，,当时，得，故，共2019种可能；当时，得，故，共1010种可能；当时，得，故，共1种可能；当时，得，故，共1种可能；当时，得，故，共1种可能综上，满足题意的数列共有（种）经检验，这些数列均符合题意 点睛：本题的难点是第（）问，难在先要通过分析转化得到数列的特征，,这一点突破后，后面就迎刃而解了.本题主要考查学生的知识迁移转化
