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1、1二二丄dx二空型dx222n,mN，有d(fn,fm)=(|sinnx-sinmx|2dx)I2cosxsinmx222dx1.4度量空间的列紧性与紧性1.4.1度量空间的紧性Compactness在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实：R的紧性，即有界数列必有收敛子列但这一事实在度量空间中却未必成立.例1.4.1设X二L(1) 1兀4+cos(n+m)x1-cos(n一m)xjI-3T1厂仆+cos(n+m)x)(1-cos(nm)x)dxf=寸2兀因此fn(x)不是基本列，当然不是收敛列.口定义1.4.1列紧集、紧集与紧空间Sequ
2、entiallycompactset,Compactset,Compactspace设X是度量空间，AX.如果A中任何点列都有收敛于X的子列，则称A为列紧集(或致密集、或相对紧集)；如果A是列紧集，也是闭集，则称A为紧集；如果X本身是列紧集(必是闭集)，则称X为紧空间.注1:若A是X的列紧集，XnA且Xnx0(n：)，那么xA?若A是X的紧集，瓦A?.定理1.4.1设(X,d)是度量空间，下列各命题成立：X的任何有限集必是紧集;列紧集的子集是列紧集；w,二=f|(L)Jf(x)|2dx：:，对于f,g=X，定义1：2d(f,g)=(._f(x)-g(x)|dx)2,令fn(x)二sinnx，那
3、么fn(x)是有界的发散点列.证明由于11d(fn,0)=(|fn(x)-0|2dx)2=(sinnx)2dx)21=二cos2nxdx22d丿所以fn(x)为有界点列对于任意的(3) 列紧集必是有界集，反之不真.证明、易证.下面仅证(3).假设AX是列紧集，但A无界.取为A固定，则存在x2A，使得dX*)_1.对于NX，必存在X3A，使得d(x,X3)_1d(X2,X3)_1.由于A是无界集，可依此类推得到X的点列Xn满足：只要i知，就有d(x，xj刃显然点列Xn无收敛子列，从而A不是列紧集导致矛盾，故A是有界集.反过来，A是有界集，A未必列紧反例：空间X=L2一二，二上的闭球E=O(0,.
4、=)有界，而不是列紧集(见例1.1).注2:R中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集.(由于R中的有界数列必有收敛子列，所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧.)注3:自然数N=1,2，门,不是列紧集.(N无界)推论1.4.1(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间.证明(1)若X为紧空间，那么X本身为列紧集，而列紧集有界，故X为有界空间.(2)若X为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知X中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得X中的基本列收敛，因此X为完备的空间口关于n维殴氏空间Rn中的
5、列紧集、紧集的特性有如下定理.定理1.4.2设A二Rn,Rn是n维殴氏空间，那么(1) A是列紧集当且仅当A是有界集；(2) A是紧集当且仅当A是有界闭集.证明(1)必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果A是有界的无限集，则A具有极限点，从而可证充分性.(2)由(1)易得.口注4:由于R中的非空紧集A就是有界闭集，定义A上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立.首先说明连续映射将紧集映射为紧集.引理1.4.1设f是从度量空间(X,d)到(Y,：)上的连续映射(称为算子),A是X中的紧集，那么f(A)是Y中的紧集.证明设E=f(A),首先证明E是Y中的列紧集.-y
6、nE,XnA，使得=f(Xn),n=1,2，.由于A是紧集，所以点列Xn存在收敛的子列Xnk，且X.xA，又知f是X上的连续映射，于是=kim：f(Xnk)=f%)E.即yn有收敛于E的子列ynk，因此E为Y中的列紧集.再证E是闭集.设yn二E,yny(n-：)，根据A的紧性和连续映射f可得，对应的点列Xn(yn=f(Xn)存在收敛的子列忌,X%；X)，A.从而y0二nmynTim：ynk=!im：f(Xnk)=f(Xo)E，即E是闭集.口定理1.4.3最值定理设A是度量空间X中的紧集，f是定义在X上的实值连续函数(泛函)，即f:XR，那么f在A上取得最大值与最小值.证明设E=f(A)，由上述
7、引理知E是R中的紧集.所以E是R中的有界集，于是上、下确界存在，设M=supf(x)|x三A,m=inff(x)|x三A.下证M是f在A上取得的最大值，同理可证m是f在A上取得的最小值.由确界性的定义知，-n,XnA，使得111f(xn)-M，即可得Mf(xJZM：M-.nnn再由A为紧集知存在xjxn，使得Xnkx：A(k-：),于是11Mf(Xn)：M:：M：i.-nkknk令k：，有f(x)二M，因此M是f在A上取得的最大值.口1.4.2度量空间中的全有界性刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界
8、集二者等价.定义1.4.2；网设X是度量空间，代BX，给定；.0.如果对于A中任何点x，必存在B中点x，使得d(x,x)：；,则称B是A的一个；网.即A二、.O(x,;)x汩(X,d)B图4.1B是A的一个；网示意图例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是R2的0.8网.定义1.4.3全有界集设X是度量空间,AX,如果对于任给的；.0,A总存在有限的；网，则称A是X中的全有界集注5:根据定义可知A是X中的全有界集等价于-；.0,xX2,，Xn二X,使得nALO（x,；），其中O（x,;）表示以X中心，以；为半径的开邻域.i4引理1.4.2A是度量空间X的全有界集当且仅当
9、Xi，X2，Xn二A,使得nA二、.O(X,;)i-1证明当A是全有界集时,nXi,X2-,Xn二X,使得A二.O(X,)不妨设i丄2一1舀乞n有0（务，一）A,2选取y*0（X2n）A,显然%2,，yn二丫以及0（x2）0y（,因此）nnA0（x,=）O（y,；）口iI2i土注6:在Rn中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系.定理1.4.4全有界集的特性设X是度量空间，AX，若A是全有界集，则（1）A是有界集；（2）A是可分集.证明设A是全有界集，取；=1，由定义知，nN及XnX2/,XnX,使得
10、nA匚UO(x,1)i土现令M=1+maxd(Xi,x)，则易知2:i.:nA0（X1,M）,可见A是有界集.（2）设A是全有界集，下证A有可列的稠密子集.1由引理1.4.2知对于&=（n=1,2，）,存在B=x1（n）,x2n），xk；）UA,使得nA二ogn）,oOXn0*0（X,、J，即Bn在A中稠密，显然），下面证明Q是A的稠密子集.i:fann1xA,0，存在nN，使得1n。:-：,由于Bn。是A的1n网，故Xn0*Bn0二.Bnim1使d（X,Xn）：从而,%Bn是可列集，故i妊取XA，再取乂2A，使d(Xi,X2)_0,(这样的X2存在，否则Xi为A的；0网).再取X3A,使小(
11、洛必)_乙,小化必)_(这样的X3存在，否则Xi，X2为A的网).以此类推，可得XnA，而Xn没有基本子列，产生矛盾，故A是全有界集.1必要性=:设Xn是A的任一点列，取汞二,k=1,2,因为A是全有界集，故A存k在有限:k网，记为Bk.以有限集Bi的各点为中心，以；i为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了A，从而覆盖了Xn，于是至少有一个开球(记为Si)中含有Xn的一个子列Xk1)S.同样以有限集B2的各点为中心，以2为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了Xk(i)，于是至少有一个开球(记为S2)中含有X；的一个子列xk2)二S2.依次可得一系列点列：xk1:灯离乂),X；1,.X：XXXLX-
12、k:1j入23k).xk。:X巴妒卅,xj,.且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为xn的子列，即xkk)=x,x22),x33),xkk)是Xn的子列下证xkk)是基本列.-；,取K,使得k=：；，那么当k,p.K时，不妨设p-k，则有x(pp)Sk，记开球Sk的中心为x；，那么有d(xPP),xkk)Md(xPP),x*)+d(x*,xkk)兰殊+比=2&CE,故xkk)是Xn的基本子列.口推论1.4.2豪斯道夫(Hausdorff)定理设X是度量空间，A二X.(1) 若A是列紧集，则A是全有界集；(2) 若X是完备的度量空间，则A是列紧集当且仅当A是全有界集.证明(1)因为列紧
13、集中的任何点列都有收敛子列，故它必是基本子列，由上述定理145知A是全有界集；(2)必要性=：由(1)知，度量空间中的列紧集一定是全有界集.充分性=:-XnA，因为A是全有界集，所以Xn含有基本子列，又知X完备，于是Xnk在X中收敛，可见A的任何点列都有收敛X的子列，即A是列紧集.口注9:对于一般的度量空间：列紧集是全有界集；全有界集是有界集，有界集却不一定是全有界集，全有界集却不一定是列紧集.例如：让X表示0,1上的有理数全体，在欧氏距离定义下，由于lim(1)n=，所以XY3n3不是完备的度量空间、X不是列紧集.由于-；0,存在正整数n，使得丄：；，那么n12n0,，-,1是X的；网，所以
14、X是全有界.nnn综上所述，紧集、列紧集、全有界集及有界集、可分集有如下的关系：有界集紧集=列紧集=全有界集=|可分集紧集二列紧集三全有界集有完备定理1.4.6Ca,b中点集列紧的的充要条件设ACa,b，则A是列紧集的充要条件为以下两条成立.(1) A一致有界：M0,-xA，对任何ra,b有x(t)M成立；A等度连续：-；.0,.0(:与t及x无关)，当t!,ta,b及1|；：*时，-xA有x(tj-x(t)：；.注意区别等度连续与映射的一致连续两个概念.推论1.4.3阿尔采拉(Arzela)引理设F二Ca,b,i1是Ca,b的一致有界且等度连续的函数族，则从F中必可选出在Ca,b上一致连续的子序列fn(t).定理1.4.7设A二lp(p_1)，则A是列紧集的充要条件为以下两条成立.QO丄A一致有界：M0,飞=(人公2，X-A，有CP)J：M；k:P1(1) A等度连续：一；0,N,x=(为必，Xk,)A，有(VXk)p：:;.k士十例1.4.2设(X,d。)为离散的度量空间，A二X，证明：A是紧集的充要条件为A是有限点集.(2-18)证明(1)充分性匸：设A是有限点集，则A必为闭集，又无点列，故为紧
