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1、专题3.8 函数与方程【考纲解读与核心素养】1.理解函数零点的概念.2.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养.3. 高考预测：（1）分段函数与函数方程结合；（2）二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.（3）常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.4.备考重点：（1）函数方程的概念（2）基本初等函数的图象和性质.【知识清单】1函数的零点 (1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程
2、f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.2零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.特别提醒两个易错点：(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.【典例剖析】高频考点一：求函数的零点 【典例1】（2019四川高考模拟
3、（理）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fx=xx-4，则方程fx=f2-x的所有解的和为（）A4+3B1C3D5【答案】C【解析】是定义在R上的奇函数，且当x0时，当x0时， 则 即 则f(x)=x(x-4),x0-x(x+4),x0 作出的图象如图：的图象与的图象关于x=1对称作出的图象，由图象知与的图象有三个交点即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于x=1对称即a+b=2则所有解的和为a+b+1=2+1=3故选：C【思路点拨】根据函数奇偶性，求出函数的解析式，结合的图象与的图象关于x=1对称，画出函数图象，结合函数的对称性，求得方程fx=f2-x的所有解的和【典例2
4、】（2020上海高三三模）函数，如果方程有四个不同的实数解、，则 【答案】4【解析】作出函数的图象，方程有四个不同的实数解，等价为和的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为、，且，由、关于原点对称，、关于对称，可得，则故答案为：4【总结提升】1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实根，有几个实根即函数yf(x)的零点方程f(x)0的实根函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(
5、x)0的实数根(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点,【变式探究】1.（2019贵州省凯里一中高一期中）方程的两个根分别为（ ）ABCD【答案】B【解析】等价于，解得或.故选：B.2.（2019安徽高考模拟（文）函数的所有零点之和等于_【答案】【解析】令，则.设，则，解得(舍去)或.所以，解得或.所以函数有两个零点，它们之和等于高频考点二：判断函数零点所在区间【典例3】（2020海丰县彭湃中学高一期末）函数的零点所在的大致区间为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为函数在R上单调递减,所以零点所在的大致区间为故选:D【典例4】(2019浙江省温州十校
6、联考)设f(x)lnxx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)【答案】B【解析】方法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的区间作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)方法二易知f(x)ln xx2在(0，)上为增函数，且f(1)1210.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点【规律方法】判断函数零点所在区间有三种方法：解方程，直接求出零点；利用零点存在定理，判断零点所在区间；图象法，观察交点所在区间.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不
7、能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断【特别提醒】二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验【变式探究】1.（2019云南省玉溪第一中学高考模拟（文）函数的零点所在的一个区间是（ ）A（-2，-1）B（-1,0）C（0,1）D（1,2）【答案】B【解析】由题，函数在定义域上单调递增且连续，f(0)=10，由零点定理得，零点所在区间是（-1,0），故选B.2.（2020郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）A2.1
8、，1B4.1，5C1.9，2.3D5，6.1【答案】C【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C高频考点三：判断函数零点的个数【典例5】（2015天津高考真题（文）已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）A2B3C4D5【答案】A【解析】当x2,所以f(x)=2-|x|=2+x,f(2-x)=x2,此时函数f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-3=x2+x-1的小于零的零点为x=-1+52;当0x2时f(x)=2-|x|=2-x,f(2-x)=2-|2-x|=x,函数f(x)-g(x)=
9、2-x+x-3=-1无零点;当x2时,f(x)=(x-2)2,f(2-x)=2-|2-x|=4-x,函数f(x)-g(x)=(x-2)2+4-x-3=x2-5x+5大于2的零点为x=5+52,综上可得函数y=f(x)-g(x)的零点的个数为2.故选A.【典例6】（2020山东省高三二模）已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为（ ）A5050B4041C4040D2020【答案】B【解析】由函数的定义域为R上的奇函数，可得，又由在区间上恰有5个零点，可得函数在区间和内各有2个零点， 因为是周期为2，所以区间内有两个零点，且，即函数在区
10、间内有4个零点，所以在区间上的零点个数为个零点.故选：B.【规律方法】判断函数零点个数的方法：1.直接法：即直接求零点，令f(x)0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)0h(x)g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数yh(x)和y
11、g(x)的图象的交点个数.4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.【变式探究】1.（2020江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_.【答案】2【解析】函数的零点即方程的根，函数的零点个数，即方程的根的个数.当时，.当时，或或（舍）.当时，方程无解.综上，方程的根为，1.所以方程有2个根，即函数有2个零点.故答案为：2.2.（2019四川高考模拟（文）函数的零点个数为_【答案】2【解析】函数的定义域为，画出两个函数，的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2故答案
12、为：2高频考点四：函数零点的应用【典例7】（2020鸡泽县第一中学高二开学考试）已知函数，若恰好有2个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】令，因为方程的两根为，所以在同一直角坐标系下作出函数的图象如图所示：由图可知，当时，函数恰有两个零点，图象如图所示：当时，函数恰有两个零点，图象如图所示：综上可知，所求实数的取值范围为.故选：C【典例8】（2019新疆高考模拟（文）关于的方程有两个解，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由得：，当时，分别作出函数及的图象如下：显然，两个函数图象只交于一点，故只有一解.当时，分别作出函数及的图象如下：显然，两个函数图象交于两点，故有两
13、个解.所以实数的取值范围是.故选：A【典例9】已知e是自然对数的底数,函数的零点为a,函数的零点为b,则的大小关系为_.【答案】【解析】由题意,知恒成立,所以函数f(x)在R上是单调递增的,而所以函数f(x)的零点a(0,1);由题意,知g(x)= +10,所以函数g(x)在(0,+)上是单调递增的,又g(1)=ln 1+1-2=-10,所以函数g(x)的零点b(1,2).综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以.【规律方法】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数
14、分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【变式探究】1.（2019江西高考模拟（文）已知函数若函数的图像与轴的交点个数恰有个，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题可知函数的图像与轴的交点恰有个，即为函数的图像与函数的图像的交点恰有个，函数的图像过定点，且斜率，当动直线过点时有个交点，此时直线的斜率增大即有个交点，故 当动直线与直线 平行时有个交点，故，综上：2.(2019河北保定一模)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，当x0,1时，f(x)2x1，设函数g(x)|x1|(1x3)，则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的
