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1、概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师 第四章 随机变量的数字特征教学要求：一、理解随机变量数学期望和方差的概念，掌握数学期望和方差的性质与计算方法；二、了解0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望及方差；三、了解矩、协方差、相关系数的概念及性质，并会计算.重点：数学期望与方差的概念和性质.难点：相关系数练习一 一维随机变量的数字特征1. 填空题（1）将三个球随机地放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为 61/25 （2）若随机变量的分布律且，则，（3）设随机变量，且，则, （4）已知连续型随机变量的概率密度为，则 1 ， 1/ 2 （5）设随机变量
2、表示10次重复独立射击命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为0.4，则（6）设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则 1 2在射击比赛中，每人射击4次，每次一发子弹，规定4弹全都不中得0分，只中一弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分某人每次射击的命中率为0.6求他期望得多少分？ 解：设表示射击4次得的分数，则的所有可能取值为且, , , 所以3设随机变量的概率密度为求解： 由于 则4已知随机变量的概率分布律为： -2020.40.30.3 .解： ;.5设随机变量X的概率密度为求（1）的期望；（2）的期望解：（1） （2） 6对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在
3、区间内，求球的体积的均值解：设球的直径为,球的体积为,则,且于是练习二 二维随机变量的数字特征1.填空题（1）设随机变量相互独立，方差分别为6和3，则 27 （2）设随机变量相互独立，则 2 （3）设随机变量相互独立，且, 则随机变量的概率密度=（4）设随机变量与相互独立，且，服从参数为3的指数分布，则（5）设二维随机变量的相关系数为，与的方差分别为，则 61 2设随机变量的概率密度为 求和解： ；。3设随机变量相互独立,概率密度分别为 求解：由于随机变量相互独立, 则.4. 随机变量相互独立，并服从同一分布，数学期望为，方差为，求这些随机变量的算术平均值的数学期望及方差解：由于随机变量相互独
4、立，且， ,，于是由性质得，.5设连续型随机变量相互独立，且均服从求解：设,由于相互独立，且均服从则也服从正态分布，且 即,于是.综合练习题1甲乙两台机床生产同一种零件，在一天生产中的次品数分别记为，已知的概率分布分别下表所示如果两台机床的产量相同，问哪台机床较好？01230.40.30.20.101230.30.50.20解：由于,则甲机床生产中的次品数的均值大于乙机床生产中的次品数，所以乙机床较好。2已知随机变量的概率密度为，求及 解： ，.3某人每次射击命中目标的概率都是0.8，现连续向一目标射击，直到第一次命中目标为止，求射击次数的期望解：设射击次数为,则的分布律为，；其中.于是.（提
5、示：利用求幂级数的和函数的方法求数项级数的和）4设随机变量的概率密度为求，和解： ； ；.5设，求和解：由于及由条件知 , , 所以,.6. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日无故障，可获利润10万元，发生1次故障，仍可获5万元，发生2次故障获利0万元，发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解：设这部机器一周内有天发生故障，这一周的利润为万元。由题意知,且所以 .7. 市场上对某商品需求量为，每售出1吨可得3万元，若售不出去而囤积在仓库中则每吨保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益最大？解：设商品的货源量为, 销售商品的收益为万元,依题意有 于是，由于令，得，且，所以当时，最大。8设X，Y相互独立，证明：证：因为 由于X，Y相互独立，则 , 又 , , 于是 .9若随机变量的联合分布律为: -101-11/81/81/801/801/811/81/81/8试证与既独立不也不相关 证：的边缘分布律为-101的边缘分布律为-101由于，如，所以与不相互独立。又 , 的所有可能取值为，且 ,即的分布律为：-101则,于是,所以与不相关。
