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1、第三讲、简单线性规划一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题(取值范围)-截距问题2 x 一 y -1，则z = 2x + 3y的最大值为。x + y 1 解析：如图1,画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大 值，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。x 22、若x、y满足约束条件y 2A、2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、( 3,5解：如图，作出可行域，作直线l: x+2y = 0，将l向右上方平移，过点A ( 2,0 )时
2、，有最小值2，过点B ( 2,2 )时，有最大值6，故选Ax21,x + y =2x=2变式练习1、设变量x，y满足约束条件x + y4W0,则目标函数、x 3y+4W0,z = 3x y的最大值为()A. 4B. 04C. 3D. 4答案D解析X=15该线性约束条件所代表的平面区域如上图，易解得A(1,3)，B(1，3)，C(2,2)，由z = 3x y得y=3x z，由图可知当x = 2, y = 2时，z取得最大值，即z最天3X2 2=4.故选D.2、设实数x,，若目标函数z = ax+by（aO, b0）的最4x y 10W0 y满足条件x 2y+820、x20, y三0大值为12,2
3、3则a+b的最小值为（）25A石8B3iiD. 4y = 6时，目标函数z = ax+by取得最大值,解析如下图由可行域可得，当x = 4 ,aaa二、求可行域的面积2 x + y 一 6 03、不等式组” + y - 3 0表示的平面区域的面积为y 2A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域， ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选Bx + y 三 2变式1、不等式组2x yW4、x y20A. 32C. 6所围成的平面区域的面积为()B. 6曇D. 32、设不等式组S0WyW3所表示的平面区域为S,若A、B为区域S内的两个答案D解析不等式组
4、表示的平面区域为图中RtAABC，易求B(4,4), A(1,1), C(2,0).S =S S =-X2X4 X2X1 = 3.ABCOBCAAOC220WxW2、x + 2y 2三0动点，贝I|AB |的最大值为()A. 2；5 B.；13 C. 3 D.俪答案B解析在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合下图观察不难得 知，位于该平面区域内的两个动点中,x=2x+2y-2=0其间的距离最远的两个点是（0,3）与（2,0），因此|AB|的最大值是事13,选B.三、求可行域中整点个数4、满足|x| + |y| 2的点（A、9 个 B、10 个C、x,13解：|x| + |y|
5、2等价于y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） 个2222D、14 个0,y0,y0,y0,y(x (x (x (x0)0)0)0)作出可行域如右图， 整点个数为13个，选D是正方形内部（包括边界），容易得到变式练习1 :在直角坐标系xOy中，已知AOB的三边所在直线的方程分别为x = 0, y = 0,2x + 3y = 30,则AAOB内部和边上整点（即坐标均为整数的点）的总数为（）A. 95B. 91C. 88D. 75y=1 时,0x13 ; y = 2 时，0x 1,5、已知 x - y +1 0,则x2 + y2的最小值 .2 x y 2 3m-3 0x - y 0c厂x - y 0
6、(A) 0 (B) x + y 0(C) vx + y 0(D) 0 x 30 x 30 x 0x + y 0 0 x 3与直线x = 3围图q成一个三角形区域（如图4所示）时有点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。1 x + y 4 -2 x y 0 ）仅在点（3,1）处取得最大值，则a的取 值范围为。解析：如图5作出可行域，由z = ax + y n y = -ax + z其表示为 斜率为-a，纵截距为z的平行直线系，要使目标函数z = ax + y（其中a 0 ）仅在点（3,1）处取得最大值。则直线y = -ax + z过A点
7、且在直线x + y = 4, x = 3（不含界线）之间。即-a 1.A (3, 1) 盜 s+y=46、在约束条件y 0 下，当3 s 5时，目标函数z = 3x + 2yy + x s y + 2 x 4的最大值的变化范围是()A. 6,15 B. 7,15 C. 6,8 D. 7,8 解析：画出可行域如图3所示，当3 s 4时， z = 3x + 2y在B(4 - s,2 s - 4)处取得最大 z= 3(4 - s) + 2(2s - 4) = s + 4 g 7,8) ；当 4 s 5 时,maxz = 3 x + 2 y在点E ( 0 ,处取得最大 z = 3x0 + 2x4 =
8、8，故z g 7,8，从而选 D;max点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函 数关系是求解的关键。7、已知|2x y + m| V 3表示的平面区域包含点（0,0 ）和（一1,1 ），贝Im则a的取值范围为（1,+）。点评：本题通过作出可行域，在挖掘-a与z的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直 线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。目标函数z = ax + y只在点（1,1）x + yW2, 变式练习：1、已知x, y满足不等式组1C. a1D. a1答案D解析作
9、出可行域如下图阴影部分所示.由 z = ax + y,得 y=ax+z.只在点（1,1 ）处z取得最小值，则斜率一a1, 故a-3，Aa|.x + 2y 19三0,3、设一兀一次不等式组1x y+820,所表示的平面区域为M，使函数y、2x + y 14W0ax(a0, aH1)的图象过区域M的a的取值范围是()A. 1,3B. 2,航C. 2,9D.你，9答案Cx + 2y19 0解析作出不等式表示的平面区域如下图，由, o M 得A(1,9)，由xy+80x + 2y19 0得B(3,8),当函数y ax过点A时，a 9,过点B时，a2,A要使y2x + y140ax的图象经过区域M,应有2WaW9.x+2y-19=0xy+8=0/-4 -2241 * 112x+y14=0八、设计线性规划，探求平面区域的面积问题x + y 2 010在平面直角坐标系中，不等式组 0表示的平面y 0区域的面积是()(A) 4迈(B)4 (C) 2迈 (D)2x + y 2 0解析：如图6,作出可行域，易知不等式组 0表示y 0的平面区域
