《二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【学习目标】1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了 解它们之间的在联系2 能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角 公式但不要求记忆)，能灵活地将公式变形并运用.3 通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法 处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2 2sin cos(S2 )2 2cos2 cos sin(C2 )2cos211 2sin22ta ntan 2 (T2 )1 tan要
2、点诠释：(1) 公式成立的条件是：在公式 S2 ,C2中，角可以为任意角，但公式 t2中，只有当kk及(k Z)时才成立；2 42(2) 倍角公式不仅限于2是的二倍形式，其它如4是2的二倍、一是一的二倍、2 433是的二倍等等都是适用的要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好2二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：sin 2sin cos；2 2sin 歹 2sin 盯cos盯(n Z)2 和角公式、倍角公式之间的在联系在两角和的三角函数公式S ,C ,T 中，当时，就可得到二倍角的三角 函数公式，它们的在联系如下:s 2aB 二 dSq + f以-0代0&Cm p4co(-p要点
3、二：二倍角公式的逆用及变形1 公式的逆用2sin cos sin2 ； sincos-si n222 . 2cossinc 22cos2sin2 cos 22 tan Ac2 tan 21 tan2 .公式的变形1 sin 2(sincos )2 ；降幕公式:cos21 cos 2,sin 21 cos2升幕公式:1 cos 22 22cos ,1 cos2 2sin换元等；“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如),2 (）等等，把握式子的变形方向，准确运用公式,要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1 对公式会“正着用”，“逆着用
4、”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、 凑项、添项、2 掌握也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等 ）;3 将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接 【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用ta n37.51 tan2 37.5例1.化简下列各式：(1) 4sin cos ； (2) sin2 2 2 82/ c、cos ； （3）8【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.【答案】(1) 2sin (2) tan 2 75o 2( 3)乙三2 2【解析】(1) 4sin cos 2 22 2sin cos 2sin(2) sin2 cos 2
5、cos -2 sin -8888cos4(3)tan 37.521 tan 37.51 2sin 37.5 22 1 tan 37.51tan 7522 .32【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体 变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式， 要仔细体会本题中的解题思路.举一反三：【变式1】求值：(1) cos一12sin 12cos1222cos 1 ; (3)8-.3【解析】(1)原式=cos2 一 sin122 _12cos62tan 75(2)原式=cos(2 ) cos 84(3)原式=ta n150o tan (180o、30 )t
6、an 30o类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例 2.求 sin 10 sin30 sin50 sin70 的值.【思路点拨】解这类题型有两种方法：o : n Q方法一：适用sin ，不断地使用二倍角的正弦公式.2cos简.方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用cossin 22sin进行化【答案】【解析】方法一：sin10sin 50 sin 70sin 20 sin 50 sin 702cos10sin 20 cos20sin 50sin 40 sin 50sin 40 cos40sin 8012cos104cos104cos108cos10 8 sin10 si
7、n 30 sin 50 sin 7016、 12sin 20 cos 20 cos40 cos80方法二：原式-cos 20cos 40 cos8024sin 20sin 40 cos40cos80sin80 cos801sin 16014sin 202sin 2016sin 2016【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题.方法-和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正 弦公式的形式.在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从 而使最终的结果为实数. 利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般
8、地，若sin0，贝y cos cos2 cos4 L cos2nn 1sin 2n 1.2 sin举一反三：【变式 1】求值:sin10 cos40 sin70 .【解析】原式cos20 cos40 cos802sin 40 cos 40 cos80 2sin802sin 20 cos 20 cos40 cos802sin 20cos804sin 208sin 20sin 160sin 208sin 208sin 208类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例3 化简下列各式：“、 sin sin2/ox :j（1）（2） .1 sin 41 cos cos 2【思路点拨】（1）观察式子分析，利
9、用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简.（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简.【解析】sin sin 21 cos cos 2sin 2 sin cosc2cos 2 cossin (12 cos )cos (12 cos )tan(2) . 1 sin4sin 2 2 2sin2 cos2 cos2 2.(sin 2 cos2)2 |sin2 cos21 sin 2 cos2.【答案】（1） tan （2） sin2 cos221 cos2 2 cos ,1 cos 222si n2.经常起到消除式子中1的作用由于sin 22 sin cos，从而 1
10、 sin22(sin cos )，可进行无理式的化简和运算.例4化简:2cos212tan 4-2sin4【解析】原式 -2sin -42cos 4 cos -4cos2cos 22sincos 4sin 22cos 21 .cos 2【总结升华】三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手.通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幕等手段，使函数式的结构化为最简形式.举一反三:【变式11 (1)1sin 6的化简结果是 (2)已知sin 3，且(, n)，则sin ? 的值为52cos3【答案】(1) sin3 cos3 (2)2【解析】(1)原式=,1 sin 3cos3、.(sin3cos3
11、)2=| sin3 cos3|= sin3 cos33 4(2 )因为sin，且a (, n )，所以COS,原式5252si n cosI 5 I= 2 2 ()cos542类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用例5.求值：)已知 sin(12I，求 cos( 6.(2)已知 sin(m，求 sin2【思路点拨】 求解.-)4观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系， 所以用二倍角公式去【答案】(1)725(2) 2m2【解析】(1) cos(cos 6cos2 一122sin 21225(2) sin27_25cos(22 )=2si n21 2si n22m2 1求解
12、的要点是利用公式沟通已知条件和【变式1】已知sincos【答案】89917【解析】由sincos11，且03【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型， 所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧.举一反三：，求 sin2 , cos2 , tan2 的值.I 得(sincos即 1 2sin cos1-，二 sin 2 2sin cos9由 sin cos，得 cos3sin12 .2sinsin93sin即 1 sin240. 2cos整理得9sin 2 3sin解得 sin 117 或 sin1-17 (舍去).66cos 21 2sin 21 21.17 2仃69tan 2sin 28.17cos 217 .【总结升华】解题过程中注意角的围的判定.【变式2】已知tan 412sin 2 cos1 cos 2【解析】(1) tan 4tantan41 tan1，解得tan211 tan tan41 tan3,(1 )求 tan的值;(2 )求的值.1cos21 2cos211115tan2326 .【总结升华】第(1)问
