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1、仅供个人参考最短路径问题专项练习共 13 页，全面复习与联系最短路径问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段(之和)最短问题；二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。(构建“对称模型”实现转化) 1最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两 点，与直线的交点即为所求如图所示，点A, B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C,使CA + CB最短, 这时点C是直线l与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线
2、的交点即为所求如图所示，点A, B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C,使CA + CB最短, 这时先作点B关于直线l的对称点B,则点C是直线l与AB的交点.为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C,连接AC,BCB C,证明 AC+CBVAC+C B.如下：证明：由作图可知，点B和B关于直线l对称, 所以直线l是线段BB的垂直平分线.因为点C与C在直线l 上,所以 BC=B C, BC=B C在AB C 中，AB VAC +B C, 所以 AC+B CVAC +B C ,所以 ACBCVAC C B.【例1】在图中直线l上找到一点M,使它到A, B两点的距离和最小.分
3、析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的 交点M即为所求的点.解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B；(2) 连接AB 交直线l于点胚(3) 则点M即为所求的点.点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用 “两点之间线段最短”解决问题.2. 运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到 直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同.警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求
4、 根据轴对称的性质、利用三角形的 三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题， 不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问.3. 利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上如果两点在一条直线的同侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,如果两点在一条直线的异侧时,过两点的直线与 原直线的交点处构成的线段的和最小,都可以用三角形三边关系来推理说明,通常根据最大值 或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为 零,转化为求直线异侧的两点到直线上一
5、点所连线段的和最小的问题在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段 仅供个人参考 转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题【例2】如图，小河边有两个村庄A, B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(1) 若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2) 若要使厂部到 A， B 两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A ,B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点.(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，
6、作A(或B) 点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求.解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A , B 的距离相等也可分别以A、B为圆心，以大于2ab为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作 直线，与EF的交点P即为所求.(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A，连接A B交EF于P，则P到A ,B的 距离和最短【例3】如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直 的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？思路导引：从A到B要走的路线是AfMfNB，如图所示，而MN是定值，于是要使 路程最短，只要
7、AM + BN最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C 到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即 为所建的桥.解：(1)如图2 ,过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽.(2) 连接BC与河岸的一边交于点N.(3) 过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置.4生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运 用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对 称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO+
8、BO=AC的 长所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法【例 4】 (实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图 中的AO, BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘 子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 图 a图 b解： 如图 b.(1)作 C点关于OA的对称点C1，作 D点关于OB的对称点D ,(2)连接Cp ,分别交OA , OB于P , Q，那么小明沿C-P-Q-D的路线行走，所走的总路程最短.5.运用轴对称解决距离之差最大问题 利用轴对称和三角形的三
9、边关系是解决几何中的最大值问题的关键先做出其中一点关于 对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求根据垂 直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值破疑点 解决距离的最值问题的关键 运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距 离的最值问题的有效方法.【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C,使点C到点A、B的 距离之差最大仅供个人参考分析：此题的突破点是作点A（或B）关于直线l的对称点A（或B）,作直线A B（AB） 与直线l交于点C,把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决.解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直
10、线l的对称点A，A B的连线交l于点C ,则点C即为所求理由：在直线l上任找一点C（异于点C）连接CA C A C A, C B.因为点A ,A关于直线l对称，所以l为线段AA的垂直平分线，则有CA = CA，所以 CA - CB = CA - CB=A B.又因为点 C在 l 上，所以 C A 二 C A.在AA BC中， C A - C B二 C A - C BA B ,所以 C A - C B张村.离分别为1和3,两点的水平距离为3，要在直线L 一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最 小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李
11、庄到河边 的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最李庄张村.短长度为。四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点AA第1题处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是A2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽 略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食仅供个人参考物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。4、正方形ABCD
12、的边长为8 , M在DC上，且DM二2, N是AC上的一动点，DNMN 的最小值为。第4题C第6题第7 题5、在菱形ABCD中，AB=2 , zBAD=60,点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。6、如图，在 ABC 中，AC 二 BC 二 2 ,/ACB 二 90。, D 是 BC 边的中点，E 是 AB边上一动点，则EC + ED的最小值为一 _。7、 AB是的直径，AB=2 , OC是的半径，OC丄AB，点D在AC 上, AD = 2CD，点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为。(二) &如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D ,连接CD
13、 ,交OA于 M ,交OB于N ,若CD二18cm，则aPMN的周长为。9、已知，如图DE是MBC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E ,且AC = 5 , BC = 8 ,则AEC的周长为。10、已知，如图，在ABC中，ABAC , BC边上的垂直平分线DE交BC于点D ,交AC于点E , AC = 8 ,ABE的周长为14，则AB的长。11、如图，在锐角MBC中，AB二4 J2，上BAC二45。，上BAC的平分线交BC于 点D , M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_.12、在平面直角坐标系中，有A(3 ,-2), B(4 , 2 )两点，现另取一点C ( 1
14、 ,n ),当n =时，AC + BC的值最小.第 11 题第 14 题第 15 题13、ABC 中，zC = 90。，AB = 10 , AC=6,BC=8,过 AB 边上一点 P 作 PE丄AC于E , PF丄BC于F , E、F是垂足，则EF的最小值等于.14、如图，菱形 ABCD 中，AB=2, zBAD=60,点 E、F、P 分别是 AB、BC、AC 上的动点，则 PE+PF 的最小值为.15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设 一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A (2,0),B(0,4).(1)求该函数的解析式；(2)0为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PCPD 的最小值，并求取得最小值时 P 点坐标(三) 16、如图，已知zAOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得APEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。17、如图，直线 l 是
