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1、基于Matlab的复摆混沌行为研究摘 要自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。混沌现象出现于非线性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。混沌运动是非线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。Matlab是一个适用于科学计算、工程设计、数值分析等领域的各种计算、演算和仿真分析的高性能的优秀数学软件。混沌理论研究的是非线性问题，难以用解析式表达，只能采用数值解法，而Matlab在这方面便可展示其强大的潜能。本论文利用了Matlab软件研究经典的混沌现象的特征，并
2、且对混沌的特点以及形成过程进行模拟分析研究；并用Matlab模拟了复摆运动行为及混沌现象，对不同周期作出相图及奇怪吸引子，可以看到随着外驱动力的增加，复摆振动逐渐由倍周期分岔走向混沌。关键词：混沌，Matlab，复摆，倍周期分岔，奇怪吸引子THE COMPLEX BEHAVIOR OF CHAOTIC PENDULUM BASED ON MATLABABSTRACTThere are many disorders, non-equilibrium, random complex systems in the nature. Chaos appears in nonlinear systems,
3、 it reveals the unity of order and disorder, certainty and randomness of unity. Chaos is a nonlinear dynamic system unique to the complex state of motion, is a seemingly random, irregular motion, chaos, following the discovery of relativity and quantum mechanics known as the third after the revoluti
4、on in physics, Chaos has always been of academic attention.Matlab is a suitable for scientific computing, engineering design, numerical analysis of the various fields of computing, calculation and simulation analysis of high-quality mathematical software.Chaos theory study nonlinear system which is
5、difficult to express use analytic style and colud only have numerical solution, and Matlab will demonstrate its strong potential in this respect. In this thesis, a Matlab software for classical chaos characteristics, and the chaos of the characteristics and formation process of simulation studies; a
6、nd use Matlab to simulate the pendulum movement behavior and chaotic phenomena, on different cycles to the phase diagram and the strange attractor, As you can see the increase in external driving force, pendulum vibration gradually from period-dou-bling bifurcation to chaos.KEY WORDS: Chaos, Matlab,
7、compound pendulum,bifurcation,strange attractor目 录前 言11.2.4 M文件及程序调试21.4 本章小结5第二章 混沌行为与特性52.1 混沌理论52.1.1 简单的数学游戏62.1.2 “蝴蝶效应”72.2 用Matlab演示混沌的基本性质82.2.1 用Matlab产生标准的混沌信号82.2.2 倍周期分岔通向混沌之路92.2.3 初值敏感性122.3 本章小结13第三章 用Matlab模拟复摆振动中的混沌行为133.1 复摆运动模型与振动方程143.2 复摆运动状态的模拟研究153.2.1 无驱动力无阻尼的复摆运动153.2.2 无驱动力
8、有阻尼的复摆运动173.2.3 有驱动力有阻尼的复摆运动，受迫运动193.3 本章小结25结 论27参考文献28致 谢2933前 言自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。混沌现象出现于非线性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。混沌现象是指确定性系统中出现的一种类似随机过程的行为。混沌运动是非线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。复摆运动是大学物理中基本的力学模型之一，在教学中通常只考虑其简谐振动的情况，内容比较单一，没有太多的研究空间。实际上，当复摆在
9、驱动力矩及阻尼力矩的作用下，将出现复杂的非线性运动，而且在一定的条件下可通过倍周期分岔逐渐进入到混沌运动状态。如果将复摆的这些非线性振动特性利用计算机模拟出来，不仅可以加深我们对复摆运动规律的认识，给我们提供一个宽阔的研究空间，而且还有助于我们了解物理学的发展前沿，开阔我们的视野。Matlab是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、系统动态仿真等功能于一体的数学软件，具有很高的编程效率，在线性代数、矩阵分析、数值计算及优化、系统动力学、建模与仿真等领域中得到广泛应用。混沌理论研究的是非线性问题，难以用解析式表达，只能采用数值解法，而Matlab在这方面便可展示其强大的潜能。本论
10、文第一章对Matlab进行了简单介绍，并且详细介绍了Matlab的基本功能及在物理中的简单应用，第二章从简单的数学游戏和“蝴蝶效应”入手，说明了混沌运动主要特征及性质，并且用Matlab来演示其特性。第三章从复摆的运动方程出发，利用计算机进行数值求解，研究复摆从周期运动转化为混沌运动的过程。3、用Matlab的ODE命令求解常微分方程，Matlab解常微分方程组的能力很强而且很方便，对于我们在普通物理学中遇到的大多数动力学方程都可以用命ode45求解3。Matlab只能解一阶的常微分方程组，高阶的常微分方程需要转化成一阶方程组才能求解。对于二阶常微分方程，首先需要化成显式形式，然后令，则二阶常
11、微分方程化为两个一阶常微分方程组成的方程组，从而使问题得到解决。(1-1)下一节我们将举例说明如何用命令ode45求解常微分方程。1.2.4 M文件及程序调试由Matlab语句构成的程序文件称为M文件，它以m作为文件的扩展名。M文件可分为两种：一种是主程序文件(Script File)，是由用户为解决特定的问题而编制的；另一种是子程序文件(Function File)，它必须由其它M文件来调用，函数文件往往具有一定的通用性，并且可以进行递归调用。1、主程序文件的格式特征如下：(1)用clear，close all等语句开始，清除工作空间原有的变量和图形，以避免其它以执行程序残留数据对本程序的影
12、响；(2)如果文件中有全局变量，即在子程序中与主程序的变量，应在程序的起始部分注明；(3)整个程序应按Matlab标示符的要求起文件名，并加上后缀m。2、子程序文件的格式特征如下：(1)由Function起头，后跟的函数名必须与文件名相同；(2)由输入输出变量，可进行变量传递；(3)除非用global声明，程序中的变量均为局部变量，运行后不保存在工作空间中。 3、质点在万有引力作用下的运动以万有引力的固定不动的施力质点所在位置为坐标原点, 建立直角坐标系，质点的运动微分方程为，分量方程为：(1-4)这两个方程都是二阶常微分方程，定义解矢量为，令 (1-5)可将方程组(1-4)化为： (1-6)
13、(1)编写微分方程组函数文件yxlcfun.m： function ydot=yxlcfun(t,y,flag,p) %函数首行,p为参量Gm0ydot=y(2); p*y(1)/sqrt(y(1).2+y(3).2).3; y(4); p*y(3)/sqrt(y(1).2+y(3).2).3; %建立微分方程组(2)解微分方程的主程序yxlc.m： p=-1; %取Gm0=1 y0=-10 0.2 6 0.2;-25 0.5 5 0;-25 0.8 6 0; %三组不同初始条件 plot(0,0, *r) %画出O点 for i=1:3 %分别以不同初始条件解3次方程 t,y=ode45(y
14、xlcfun,0:0.1:300,y0(i,:), ,p); hold on axis(-25 25 -20 20); %指定坐标范围 comet(y(:,1),y(:,3) %绘出质点运动轨迹(x,y) end %结束循环 解出的结果如图1-7所示：图1-7 万有引力场中质点运动轨迹 由上面例子，我们初步了解了Matlab解常微分方程的一般过程，首先是建立微分方程函数文件，文件的格式如下： fuction ydot=filename(t,y,p1,p2) %t,y是积分区间和解矩阵p1,p2是参数ydot=关于t,y的表达式; %ydot表示dy/dt下面介绍ode45命令的用法，ode45
15、的一般调用格式为：T,Y=ode45(fun,tspan,y0,options,p1,p2,) 其中含义如下表： 表1-6 ode45命令含义Fun求解的微分方程函数名Tspan单调递增（减）的积分区间t0:tstep:tfinaly0初始条件矢量Options用odeset建立的优化选项，一般用默认值，为空矢量“ ”p1,p2传递给fun函数的参数T,YT是输出的时间列矢量，矩阵Y的每一个列矢量是解的一个分量各个项在命令中的位置和顺序不能颠倒，否则程序就会出错。1.4 本章小结本章首先对Matlab进行了简单介绍，介绍了Matlab的发展及应用前景， 然后详细介绍了基本运算功能，基本绘图功能，数值分析功能，并且简单介绍了M文件的编写及Matlab的程序调试。由于Matlab是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、系统动态仿真等功能于一体的数学软件，所以为了加深对Matlab的基本功能的理解，在本章第三节我们列举了几个简单的应用。 例1等量异号点电荷的
