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1、六二项式定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.2n+2n-1+2n-k+等于()A.2nB.2n-1C.3nD.1【解析】选C.原式=(2+1)n=3n.2.(2017全国卷)(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35【解析】选C.(1+x)6展开式中含x2的项为1x2+x4=30x2,故x2的系数为30.【类题通】对于两个二项式乘积的问题,用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析含x2的项共有几项,进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项展开式中的r不同.3.在(+)12的展开式中,含x的正
2、整数次幂的项共有()A.4项B.3项C.2项D.1项【解析】选B.(+)12的展开式的通项为Tr+1=()12-r()r=(0r12),6-(0r12)为正整数,有3项,即r=0,r=6,r=12.4.(2020广州高二检测)若的展开式中常数项等于-20,则a=()A.B.-C.1D.-1【解析】选C.的展开式的通项公式为Tk+1=(ax)6-k=(-1)ka6-kx6-2k.当k=3时,常数项为(-1)3a3=-20,解得a=1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020全国卷)的展开式中常数项是_(用数字作答).【解析】因为Tr+1=x2(6-r)2rx-r=2rx12-3r,由12
3、-3r=0,得r=4,所以的展开式中常数项是:24=16=1516=240,故常数项为240.答案:2406.(2020天津高二检测)的展开式中,项的系数为_.【解析】因为二项式展开式的通项公式为Tk+1=(2)6-k=(-1)k26-kx3-k;令3-k=-1,所以k=4;故展开式中含项的系数为22=60.答案:60三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知在的展开式中,第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是143.(1)求n;(2)求展开式中所有的有理项.【解析】(1)依题意有=143,化简,得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(不合题意,舍去),所以n的值为10.
4、(2)通项公式为Tk+1=(-1)k=(-1)k,由题意得解得k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为x2,x-2.8.设f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中含x项的系数是19(m,nN*).(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的最小值.(2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值时,求f(x)的展开式中含x7项的系数.【解析】(1)由题设知m+n=19,所以m=19-n,含x2项的系数为+=+=+=n2-19n+171=(n-)2+.因为nN*,所以当n=9或n=10时,x2项的系数的最小值为+=81.(2)当n=9,m=10或n=10,m=9时,x2
5、项的系数取最小值,此时x7项的系数为+=+=156.(15分钟30分)1.(5分)(2020昆明高二检测)的展开式中,常数项为()A.1B.3C.4D.13【解析】选D.由于表示4个因式的乘积,故展开式中的常数项可能有以下几种情况:所有的因式都取1;有2个因式取,一个因式取1,一个因式取;故展开式中的常数项为1+=13.2.(5分)(多选题)若的展开式中存在常数项,则n的取值可以是()A.3B.4C.5D.6【解析】选BD.的展开式中通项公式:Tk+1=xn-k=(-1)kxn-2k.因为存在常数,所以n-2k=0,即n=2k,n,kN*.则n的值可以是4,6.3.(5分)(2020天津高二检
6、测)将(3+x)n的展开式按照x的升幂排列,若倒数第三项的系数是90,则n的值是_.【解析】将(3+x)n的展开式按照x的升幂排列,则倒数第三项的系数是32=90,求得n=5(负值舍去).答案:54.(5分)(2019浙江高考)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是_,系数为有理数的项的个数是_.【解析】展开式通项是:Tr+1=()9-rxr,所以常数项是T1=()9=16,若系数为有理数,则9-r为偶数,所以r为奇数,所以r可取1,3,5,7,9.答案:1655.(10分)已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,nN*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式含
7、x2的项.(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?【解析】(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3展开式的通项为xr,(1+2x)4展开式的通项为(2x)r,f(x)g(x)的展开式含x2的项为1(2x)2+x(2x)+x21=51x2.(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因为h(x)的展开式中x的项的系数为12,所以+2=12,即m+2n=12,所以m=12-2n.x2的系数为+4=+4=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=
8、4n2-25n+66=4+,nN*,所以n=3,m=6时,x2的项的系数取得最小值.1.若(x+a)2的展开式中常数项为-1,则a的值为_.【解析】由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而的展开式通项为Tk+1=(-1)kxk-5,其中k=0,1,2,5.于是的展开式中x-2的系数为(-1)3=-10,x-1项的系数为(-1)4=5,常数项为-1,因此(x+a)2的展开式中常数项为1(-10)+2a5+a2(-1)=-a2+10a-10,依题意-a2+10a-10=-1,解得a2-10a+9=0,即a=1或a=9.答案:1或92.设=a0+a1x+a2x2+arxr+anxn,其中qR,nN*
9、.(1)当q=1时,化简:.(2)当q=n时,记An=,Bn=ar,试比较An与Bn的大小.【解题指南】(1)当q=1时,ar=,从而得到结果.(2)当q=n时,由二项式定理可得An=nn+1,Bn=,猜想、归纳,用数学归纳法加以证明即可.【解析】(1)当q=1时,ar=,由于=,其中r=0,1,2,n.所以原式=(+)=.(2)当q=n时,ar=nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=,当n=1,2时,nn+1,即n.下面先用数学归纳法证明:当n3时,n,()当n=3时,3=,()式成立;设n=k3时,()式成立,即k,则n=k+1时,()式右边=k=+k
10、.所以,当n=1,2时,AnBn.【一题多解】当q=n时,ar=nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=,要比较An与Bn的大小,即可比较与的大小,设f=,则f=,由f0,得0xe,所以f在上递增,由fe,所以f在上递减,所以当n=1,2时,An,即lnnnln,即lnnn+1ln,即AnBn,综上所述,当n=1,2时,AnBn.【一题多解】当q=n时,ar=nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=,当n=1,2时,nn+1.下面用数学归纳法证明:nn+1,n3,nN*,(*)当n=3时,33+1=81,=64,因为8164,所以(*)式成立;设n=k3时,(*)式成立,即有kk+1,所以1(因为0).又因为k,即,所以=1,即,所以,当n=k+1时,(*)式也成立.综合,对任何n3,nN*,nn+1都成立.所以,当n=1,2时,AnBn.
