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1、广东广雅中学20142015学年度上学期高三10月月考数学（理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。【注意事项】1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。2选择题的答案一律做在答题卡上，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信
2、息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合,则A B C D2若复数，则A B C D3下列函数中，在区间上为增函数的是AB C D4 已知，则 A B C D5设是两条不同的直线， 是两个不同的平面,下列命题中错误的是A 若,则 B若,则C若,则 D若,则6巳知双曲线的中心在坐标原点，实轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之差为12，则双曲线的方程为ABCD7在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定若为上的
3、动点，点的坐标为，则的最大值为A B C D38若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合上的一个拓扑已知集合，对于下面给出的四个集合：；其中是集合上的拓扑的集合的序号是开始输入输出结束是否第11题A. B. C. D. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（913题）9. 计算 10函数的单调递增区间是 11执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为 _.12曲线过点的切线方程为 第13题图13某同学为研究函数 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和
4、， 点是边上的一个动点，设，则 请 你参考这些信息，推知函数的值域是 第15题图（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以平面直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为，则曲线和交点的直角坐标为_ 15 (几何证明选讲选做题)如图所示，圆的直径， 为圆周上一点， ，过作圆的切线，过作的 垂线，垂足为，则线段的长为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）第16题图已知函数（,）的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最
5、低点的坐标分别为和(1)求函数的解析式；(2)若锐角满足，求的值17.（本小题满分12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率. (1) 求某两人选择同一套餐的概率；(2) 若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望. 18.（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，侧面底面，底面为直角梯形，其中，为中点. (1)求证：平面 ；(2)求锐二面
6、角的余弦值19（本小题满分14分）已知数列满足，(1)设试用表示（即求数列的通项公式）；(2)求使得数列递增的所有的值20.（本题满分14分）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及，设线段，的中点分别为求证：直线恒过一个定点21. （本题满分14分）已知函数.(1)若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；(2)在(1)的条件下，且，求的极小值；(3)设（），若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.广东广雅中学20142015学年度上学期高三10月月考数学（理科
7、）试题参考答案及评分标准命题：杨志明 统审：赖淑明 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.题号12345678答案A C AADBCD二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 9. 10. （或） 11. 15 12. 13. 14. 15. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1A.【解析】易得,所以,故选A2C【解析】3A【解析】B、C为减函数，D为双钩函数，双钩函数在上先减后增.4A解析：，即，5D解析】ABC是正确命题,选D6B【解析】，则所求双曲线方程为.7C作出可行域，由图像知，当点的坐标为或时，的最大值为8D. 解析：不是拓
8、扑，因为，但；是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；不是拓扑，因为全集；是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足二、填空题：9 .解： 10【解析】，即，即.11 15.解析：第一次循环后:；第二次循环后:； 第三次循环后:；第四次循环后:；故输出15.12，解析：设切点为，则切线为，把代入上式，得，故切线方程为13 解析：根据图形可知，当时（点P在BC中间），当或时（点P在B点或C点），的值域是14.考查极坐标方程.，联立方程很快得出结果15.解：在中，故，故，.由是圆的切线知，故，.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. 解：（1）由题意可得，即， 3
9、分， 由且，得5分函数 6分（2）由于，即且为锐角，所以 8分 10分即的值为 12分17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力. 解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为. 4分(2) 由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为400，500，600，700，800，1000. ， 8分综上可得的分布列为：400500600700800100010分. 即的数学期望为775. 12分18.(1)证明：如图，连接，则四边形为正方形，所以，且，2分故四边形为平行四边形，所以4分 又平面，平面，所以平面. 6分(2)因
10、为为的中点，所以，又侧面底面，交线为，故底面。 7分以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系， 则， ，8分 设为平面的一个法向量，由，得，令，则 10分又设为平面的一个法向量，由，得，令，则， 12分则，故所求锐二面角的余弦值为 14分注：第2问用几何法做的酌情给分19解：（1） 1分即变形得， 3分若，则 4分若，则数列是以为首项的，为公比的等比数列5分故，因而，； 6分（2）法一： 7分为奇数时，令， 8分得，即对所有的正奇数恒成立，9分因为对单调递减，所以，即。10分 为偶数时，令， 11分得，即对所有的正偶数恒成立，12分因为对单调递减，所以，即。13分综上，时，数列递
11、增。 14分法二：由（1）知，从而，7分故， 8分设，则，下面说明，9分讨论：若，则A0,此时对充分大的奇数n，有，这与，递增的要求不符； 13分 若，则A=0，始终有。综上，。14分注意：直接研究通项，只要言之成理也相应给分。20.解：(1)由，得，即，即 1分 由椭圆过点知， 2分联立（1）、（2）式解得。 3分故椭圆的方程是 4分(2)直线恒过一个定点 5分证明 椭圆的右焦点为，分两种情况1当直线的斜率不存在时，:，则 :由椭圆的通径易得，又，此时直线恒过一个定点； 6分2当直线的斜率存在时，设: ，则 ：又设点联立方程组消去并化简得， 8分所以 10分由题知，直线的斜率为，同理可得点11分， 12分即令，解得 故直线恒过一个定点；
