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1、第31练函数与导数明考情函数与导数问题是高考的必考题，作为试卷的压轴题，在第21题或第22题的位置.知考向1.导数的几何意义.2.导数与函数的单调性.3.导数与函数的极值、最值.考点一导数的几何意义要点重组导数的几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率.方法技巧(1)已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(2)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决.1.已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)
2、直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；解(1)由计算可知，点(2，6)在曲线yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21，yf(x)在点(2，6)处的切线的斜率kf(2)13，切线方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0，0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).2.设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x
3、)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行.(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；解(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，即f(1)a12，所以a1.(2)当k1时，方程f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根.设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0，1时，h(x)0.又h(2)3ln 2ln 80，所以存在x0(1，2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1，2)时，h(x)0，所以h(x)h
4、(1)20，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增，所以当k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根.3.已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在公共点处的切线相同.(1)若a1，求b的值；(2)用a表示b，并求b的最大值.解(1)当a1时，f(x)x22x，g(x)3ln xb.设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f(x)x2，g(x)，由题意知，f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，由x02，得x01或x03(舍去).b.(2)
5、设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f(x)x2a，g(x).由题意知，f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，由x02a，得x0a或x03a(舍去)，即ba22a23a2ln aa23a2ln a.令h(t)t23t2ln t(t0)，则h(t)2t(13ln t)，则当2t(13ln t)0，即0t时，h(t)0；当2t(13ln t)0，即t时，h(t)0.故h(t)在(0，)上的最大值为h()，故b的最大值为.考点二导数与函数的单调性方法技巧(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递增；如果
6、f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递减.(2)常数函数的判定方法：如果在某个区间(a，b)内，恒有f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内是常数函数，不具有单调性.(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f(x)0(或f(x)0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验).4.设f(x)，其中a为正实数.(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.结合可知，xf
7、(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号.结合与条件a0知，ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0知，00，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)，得f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a).(3)g(x)x2ax
8、2，依题意，存在x(2，1)，使g(x)x2ax20成立，当x(2，1)时，ax2，所以实数a的取值范围是(，2).6.(2017全国)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增.若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)证明由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0对x(1，1)都成立，即a(x1)对x(1，1)都成立.令y(x1)，则y10，所以y(x1)在(1，1)上单调递增，
9、所以y(11)，即a.因此a的取值范围为.考点三导数与函数的极值、最值要点重组(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当xx0时，函数取得极值，在x0处有f(x0)0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.(3)一般地，在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数yf(x)在a，b上必有最大值与最小值.函数的最值必在极值点或区间的端点处取得.9.(2017北京)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)
10、求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0，又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)由(1)可知，f(x)ex(cos xsin x)1，设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.10.设函数f(x)xaln x(aR).若曲
