《线性系统响应中齐次解和特解形式的设定》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性系统响应中齐次解和特解形式的设定（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性系统响应中齐次解和特解形式的设定描述线性时不变连续系统的激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数微分方程，可写为nm送 ay(t)=2： b f (t)j=0i =0通过高数的学习，我们得知微分方程的全解是通解与特解的和。则线性系统响应的全解由齐次解yh(t)与特解组成，即Y(t)= yh(t) +yp(t)采用经典法，我们可以通过系统的齐次微分方程的特征方程求得特征根，从而求n得Ake形式的齐次解。再通过微分方程的右端函数求得含待定系数的特解方k 4程式。对于齐次解和特解的形式设定，讨论如下：(一)齐次解yh(t)二阶系统是一个典型系统，我们可以用一个简单系统区研究与其相似的复杂 系统，
2、从而为控制系统的计算机数字仿真提供了基础，物理结构不同的元件或系统可以具有相同形式的数学模型。 对于一些线性二阶常系数微分方程而言，其齐次解在对应的物理系统中有各自的物理意义， 如RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼 机械系统。当齐次解分别为两个不同实根，二重实根和复根时，分别对应过阻尼， 临界阻尼和欠阻尼三种情况。再如，齐次解又称为自由响应，它的函数形式是由 电路系统本身结构决定的，与外加激励无关。由此可见，研究不同情况下齐次解 的形式是很有必要的。对于高阶系统而言，特征根的形式不同导致齐次解不同1. 特征根为单实根。采用经典法可求得齐次解 yh (t) =e4。2. 特征根为r重实根。齐次解y
3、h(t) =(Cr C Gt C0)et，其 中系数C由边界条件唯一确定。3. 特征根为一对共轭复根 人上士沖。设递归关系的特征根为共轭复根，则Hn 工耳 *HnA a2 *Hn Hn工且=0, n = r, r 1对应的齐次递归关系解为八 (a?) =BJncosnrB-nsin n由此可得，齐次解 yh(t) =eatCcos( t) Dsin( ：t)或Acos( t-v),其中Ae C jD。4. 特征根为r重共轭复根。同样可由递归关系得出齐次解yh(t) =Ar-1tr-1cos(：t 芥)Ar-2tr-2cos(：t 也) A0cos(：t %)。(二)特解 yp(t)特解的形式由
4、激励信号确定，称为强迫响应。1. 激励信号f(t)= tm。当所有特征根均不为零时，特解yp(t) = Pmtm +Pm-1tm-1 +. + F0。，当有r重等于0的特征根时，特解 yp(t)=tr Pmtm Pm-1严P。2. 激励信号f(t)= e：t。当a不等于特征根时，特解yp(t) =Pe：t,当a等于特 征根时，特解yp(t) =(Rt - P。)e：t,当a等于r重特征根时，特解yp(t)=(PrtrPr-1tr-1 .F0)e：t。3. 激励信号 f(t)= cos( ：t)或sin( X)，特解 yp(t) = Pcos( t) Qsin (-t)，其中 所有的特征根均不等于二I：。4. 激励信号 f(t)= tmeacos(Bt)或tm ea sin(Pt)，特解yp(t)=( Pmtm Pm-1tm-1 . P0)ecos( r)+(Qmtm 也严 Q) esin(弋。5. 激励信号f(t)= Pm(t) e,特解yp(te-1e(：2)t /e(：32)t *. e(：n n)t f (t)e ：ntdt)dt *.dtdt，其中f f(t)dt表示取f(t)的任一个原函数即可。2参考文献1期刊：2期刊：薛维达陈忠常系数线性齐次递归关系的求解太原师范学院学报 2009 8(1)刘凌高阶常系数线性微分方程的一种积分形式特解高等数学研究2011 14(1)
