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1、 三校2014届十二月联考试题 数学试卷（理科）满分150分，考试时间为120分钟一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知为实数，且. 则“”是“”的 （ ）.（A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 （C）充要条件 （D） 既不充分也不必要条件w（2）已知，则等于 ( ). （A）4 （B）2 （C）0 （D）2（3）一支田径队有男运动员 56人,女运动员 42 人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,则样本中男运动员的人数为 ( ) .（A）16 （B）14 （C）12 （D）10（
2、4）已知是等差数列,若,则数列的公差等于 （ ）.（A） （B） （C） （D）（5）已知，则函数与函数的图象可能是 （ ）.（6）动圆过定点且与定圆相切，那么动圆的圆心的轨迹是 （ ）.（A）圆，或椭圆 （B）圆，或双曲线， （C）椭圆，或双曲线，或直线 （D）圆，或椭圆，或双曲线，或直线（7）已知直线上存在点满足约束条件， 则实数的取值范围是 （ ）.（A） （B） （C） （D）（8）如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则 ( ).（A） （B） （C） （D）（9）已知直线与圆相切，其中，且，则满足条件的有序实数对共有的个数为 ( ).（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（
3、10）设是定义在上的偶函数,且当时,.若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值是 （ ）.(A) (B) (C) (D) 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）已知一元二次不等式的解集为 ，则不等式的解集为 . （12）如图，直角中，以为圆心、为半径作圆弧交于点若圆弧等分的面积，且弧度，则= . （13）在中,，则的取值范围是_.（14）设分别表示不大于的最大整数，如.则集合表示的平面区域的面积为 .（15）对于平面直角坐标系内任意两点，定义它们之间的一种“折线距离”：则下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的序号) 若，则；若点在线段上，则；在
4、中，一定有；若为定点，为动点，且满足，则点的轨迹是一个圆；若为坐标原点，在直线上，则最小值为.三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.（16）（本小题满分12分）已知函数，.（）设是函数图象的一条对称轴，求的值；（）求函数的值域.（17）（本小题满分12分）前不久，省社科院发布了度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”.随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的
5、一位数字为叶)：（）指出这组数据的众数和中位数；（）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望（18）（本小题满分12分）已知是不相等的正常数，实数.（）求证：，并指出等号成立的条件；（）求函数的最小值，并指出此时的值（19）（本小题满分12分）已知椭圆:()，直线经过椭圆的上顶点和左焦点，设椭圆右焦点为.（）求椭圆的标准方程；（）设是椭圆上动点,求的取值范围,并求取最小值时点的坐标.（20）（本
6、小题满分13分）已知函数（）若，求函数的极小值；（）试问：对某个实数，方程在上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数的范围；若不存在，请说明理由.（21）（本小题满分14分）设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为.()用表示和； ()求证：；()设,，求证：.理科数学参考答案一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案BBACB DDADC二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11. ； 12.； 13. ； 14. 5； 15. .三.
7、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.（16）（本小题满分12分）（）由题知，因为是函数图象的一条对称轴，所以，即， 3分故，当为偶数时，当为奇数时，； 6分（）由题知，10分所以的值域为. 12分（17）（本小题满分12分）解：（）众数：8.6；中位数：8.75 ； 3分（）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则 ； 7分（）的可能取值为0，1，2，3.高考.资.源+网 高.考.资.源+网 ；.的分布列为：所以. 12分另解：的可能取值为0，1，2，3.高.考.资., 则，. 所以= （18）（
8、本小题满分12分）解：（）因为是不相等的正常数，实数，应用均值不等式，得： ，即有，5分当且仅当，即时上式取等号； 7分（）由（）知， 10分当且仅当，即时上式取最小值，即 12分（19）（本小题满分12分）（）依题意, 所以, ,， 3分所以椭圆的标准方程为 5分（）由椭圆定义知，则， 7分而,当且仅当时, ,当且仅当是直线与椭圆的交点时, =2，所以的取值范围是 9分设,由得 , 由 ,解得或 ,所求和 . 12分（20）（本小题满分13分）解：（）定义域为，由已知得， 2分则当时， 在上是减函数，当时， 在上是增函数， 故函数的极小值为 5分（）假设方程在上存在三个不相等的实根，设，由于在上图象连续不断，则有两个不同的零点 8分即有两个不同的解，设，则，设，则，故在上单调递增，则当时，即， 11分又，则故在上是增函数， 则至多只有一个解，故不存在 13分（21）（本小题满分14分）解：()由点在曲线上可得, 又点在圆上，则, 2分从而的方程为, 由点在上得: ,将代入化简得: . 5分() ,， 7分又, ，所以 ； 9分()先证:当时,.不等式后一个不等式显然成立,而前一个不等式.故当时, 不等式成立.， 12分(等号仅在时成立)求和得: 14分
