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1、题型一、求椭圆的标准方程例一解析：(1 )椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为(a b 0), 2a 10 , c 4 , b2所以，椭圆的标准方程为2a2x25c29,2y9(2)v椭圆焦点在 y轴上，故设椭圆的标准方程为2y2a2x.21 ( abb 0)，由椭圆的定义知， 孑10，又 c 2 , 2a所以,5 2)2椭圆的标准方程为-b2y103)22a6(5 2)222c103 ,102110 2 , 10 ,2(3)焦距为 6 , c 3,-a b c 9，又 a2x252y_n所以，椭圆的标准方程为b2y161 ,. a21或上255,2x161 ( m,n 0 ),2 x(4
2、)设椭圆方程为 -6,n10,2x6例2.解析：(1)设动圆的半径为|PC| = 1 + r, |PC| = 9-r, P点的轨迹为以C1( 3,0)所以，椭圆方程为2y_10P为(x, y),r,动圆圆心则 | PG| + | PG| = 10.、G2(3,0)为焦点，长轴长2根据已知条件得2a= 10 的椭圆，则 a= 5, c= 3, b2= 16，所求椭圆的方程为x252y- 1162(2 )用定义得42L 13题型二、椭圆的几何性质的应例三4343VT471.解：不妨设 F1 ( 3 , 0), F2( 3 , 0)由条件得 P( 3, ),即 |PF2|=一 , I PF|=22
3、2因此| PF|=7| P冋,故选A。解析：由巴知得小一(护一X) = (a-Fc)2, 即(2 -ac-a =0 ,-e 1 =0le0, A 4? = J 阿题型三、直线与椭圆的综合应用例5. ( I)解：依题设得椭圆的方程为直线AB, EF的方程分别为x 2y 如图，设 D(xo, kxo), E(Xi, kXi), 且Xi,2x42, yy2 i,故x22 2x2满足方程(i 4k )x.i 4k2kx(k 0).F(X2, kX2)，其中 X!Xiuuu 由EDuur6DF 知 xo xi 6(x2由D在AB上知xo 2kxo 2 ,iXo)，得 Xo 7(6X2 Xi)得 Xo -
4、.i 2k55x21071 4k2 2所以10i 2k r.i 4k2 2 325k6 o,解得k 或k -3 8(n)解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点|xi 2kxi 2化简得24k2E, F到AB的距离分别为hih2x2 2kx22AB2(i 2k;i 4k2).5(i 4k2)2(i 2k 一 i 4k2),5(i 4k2)22 i 5，所以四边形AEBFAB (hi h2)1 2k)2(i 2k)4k2的面积为i 4k2 4ki 4k21，即当k时，上式取等号所以2由题设，BO| 1 ,AO2 .kXi , y2kx2，由得x2o, y2 2,2 ,S的最大值为解法当2kyi0
5、,设y故四边形AEBF的面积为S S BEF Sa AEF X22 y2(X2 2y2)2X24y； 4x2 y22）a a 2cos / F1PF2最小值为a2 a2(2 一2)22 a a,a2=32- P点轨迹方程为y213(2)设 A ( x,y) ,B(X2,y2)222222MAx1(y1 1)2 MBx； (y1 1)2/ MA |MB |2 |MA| 2=|MB|-x： +(y1 + 1)2=x22+(y2+1)2(X1+X2)(X1 x2)+(y 1+y2+2)(y 1 y2)=0X2X1(xi+x2)+k(y i+y2+2)=0 (A)1221X1Y131221X2y23两
6、式相减得-(x1 x2)(x23X2)(yiy2)(%y2) 03(X1 X2)k(y1y2)0 代入(A)k( 2y1 2y2+2)=0/ k 工0I : y kx by什 y 2=1 X1+X1 = 3k设直线方程为I :y=kx+b2X2 d3 y 12(kx b)21(3k2+1)x2+6bkx+3b 2 3=0Xl+X2=_6bk_3k213k2b=3k2+1 =(6bk)2 4(3k2+i)(3b2 3)0 3k2+1b2 3k2+d)221)I ：y(3) x2y2 12T (x m)2 1X1 X24x2+6mx+3m 2 3=0设 A (X1,y1),B(X2,y2)x1 x
7、23m23/ 2(m41)|X1 X2|2 .|AB|= 1 k | X1X2- 3 m=2m=、2 时，I : y xJ2M到I距离d1= 2m=2时,M到距离d2= 一2例8 解析:设1X1 ,y22厶1b21a2(12ay12 X 2 aX1X2P(X1, yj, P(X2, y2),1 X2,代入上式得：由OP丄OQ2x1 x2(X1X2)(a22 2 2b )x 2a x(1X 1 X0又将y 1 x代入c2a20, X1 X22 ,a b7代入化简得右b2 1 1 b2 1 a2 3 1 0 21I，又由(1)知&22a2a2 12a2 1兰，长轴2a 5, 6.2例9.解：(1
8、)由题意知，圆 A的方程为(x 圆B的方程为x2 (y a)2a2,b)2b2,解方程组(X b)2 y22 I，得 P(送，务x (y a) aa b a b(2)因点P在直线所以a2c2x上，所以2c2ab2a2 b22a2ba2(3)(1)有b23 2-a ，所以此时所求椭圆方程为42y_2a4x237 1，| MN |2 x2(y 1)23 2a3 2yy2 2y1 (y4) 3 3a2，其中 a y44441若0a4时,则当ya时，|MN |2有最大值a2 2a由a22a19得a2或a4 (都舍去)；设M(x, y)是椭圆上一点，则a，1，13分32若a 4时，则当y 4时，|MN|
9、2有最大值一a23，415分由3 a2 3 9得a4 (舍去负值)；42 2综上所述，所求椭圆的方程为丄x 1.16 12例10.解：(I)设P (x, y),由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0, J3),(O,J3)为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴 b ,22 (.3)2 1 ,2故曲线C的方程为x21 .分4()设 A(x, yj, B(X2, y2)，其坐标满足x2+1,kx 1.消去y并整理得（k24） x22kx 3故 x1x22k-，X243k2 4uuu 若OAuuuOB，即x1x2YlY2而 YlY2k2x1x2k(xiX2)曰是为X2y23k243k2k22k2严1化简得4k20，所以uuu2uuuu（川）OAOB122X12Y1(x；yl)因为A在第一象限，故uuuu故OAuuuurOB(X12xf)4(12X11 x|)3化X2)(Xi
