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1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。 湖南工业大学课 程 设 计资 料 袋 理学院 学院（系、部） 2013-2014 学年第 2 学期 课程名称 数值分析 指导教师 职称 副教授 学生姓名 专业班级 信计1102 学号 114111002 题 目 超松弛迭代法解线性方程组 成 绩 起止日期 2014 年 06 月 09 日 2014 年 06 月 13 日目 录 清 单序号材 料 名 称资料数量备 注1课程设计任务书12课程设计说明书13源程序（电子文档）145湖南工业大学课程设计任务书2013-2014学年第 2 学期 理学院 学院（系、部） 信息与计算科学 专业 1102 班
2、级课程名称： 数值分析 设计题目： 超松弛迭代法解线性方程组 完成期限：自 2014 年 06 月 09 日至 2014 年 06 月 13 日共 1 周内容及任务一、设计的任务及主要技术参数运用数值分析中超松弛迭代法，求解一个给定的线性方程组。二、设计任务理解超松弛迭代法的原理依据，实现算法，利用matlab软件编程，解决问题。三、设计工作量三人合作，在一周时间内，使用matlab软件，编写程序，使用超松弛迭代法解线性方程组。最后，撰写课程设计报告。进度安排起止日期工作内容2014.06.092014.06.10选择题目，查阅资料。2014.06.112014.06.12利用matlab软件
3、编写相应的程序，并尝试改进已有的算法。2014.06.122014.06.13整理相关的结果，书写课程设计报告。主要参考资料1黄云清等.2009.数值计算方法.北京：科学出版社.2何道坤等.1985.实用线性规划及计算机程序.北京:清华大学出版社.3威尔金森J H.2001.代数特征值问题.石钟慈，邓键译.北京：科学出版社.指导教师（签字）： 年 月 日系（教研室）主任（签字）： 年 月 日 / 数值分析课程设计说明书 超松弛迭代法求解线性方程组起止日期： 2014 年 06月 09 日 至 2014 年 06 月 13 日学生姓名班级 信息与计算科学11级学号 成绩指导教师(签字)理学院20
4、14年06月 13 日目 录第1章 超松弛迭代法的论述41.1 理论依据41.2 收敛性判别条件51.3 收敛速度的估计5第2章 程序设计及结果62.1 MATLAB程序62.2 运行结果及分析7第三章 对题目进行变化93.1改进方法93.2改进题目13第四章 对算法进行展望13结 论14参考文献15附 录15 应用SOR方法（取）解 的方程组.要求，第1章 超松弛迭代法的论述1.1 理论依据 超松弛迭代法定义 超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR迭代法，它是在Gauss-Seidel法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法.设解方程组的G
5、auss-Seidel法记为 （1）再由与加权平均得这里0称为松弛参数，将(1)代入则得 （2）称为SOR迭代法，0称为松弛因子，当=1时(2)即为Gauss-Seidel法，将(2)写成矩阵形式，则得于是得SOR迭代的矩阵表示 (3)其中 1.2 收敛性判别条件根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为，但要计算比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件.定理1 设，则解方程的SOR迭代法收敛的必要条件是02.定理2 若对称正定，且02，则解Ax=b的SOR迭代法(3)对迭代收敛.对于SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响
6、较大，关于最优松弛因子研究较为复杂，且已有不少理论结果.下面只给出一种简单且便于使用的结论.第2章 程序设计及结果2.1 MATLAB程序时：时：2.2 运行结果及分析w = 1.2时：w = 1.5时：分析：当w=1.2时，原问题只需迭代9次就已经快收敛到正解，而当w=1.5时，原问题迭代了13次才趋于收敛到正解，而且收敛效果没有w=1.2时的效果好。 第三章 对题目进行变化3.1寻找最优的 可以通过将设置范围，,并取步长，将原题进行迭代：迭代代码如下：clearclca=10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10;b=9;7;8;x1(1)=0.5;x2(1)=0.5;x3(1)=0
7、.5;eps=1e-3;h=0.1;for j=1:20 w(j)=0+h*j; for k=1:1000 x1(k+1)=w(j)*(b(1)-a(1,2)*x2(k)-a(1,3)*x3(k)/a(1,1)+(1-w(j)*x1(k); x2(k+1)=w(j)*(b(2)-a(2,1)*x1(k+1)-a(2,3)*x3(k)/a(2,2)+(1-w(j)*x2(k); x3(k+1)=w(j)*(b(3)-a(3,1)*x1(k+1)-a(3,2)*x2(k+1)/a(3,3)+(1-w(j)*x3(k); %x1,x2,x3 if norm(x1(k)-1),(x2(k)-1),(x
8、3(k)-1),inf)eps; k break end end x1,x2,x3end运行结果如下：取几个的值迭代得到的结果展示：=0.5=0.7=0.4=0.63.2改进题目题目：-4x1+x2+x3+x4=1x1-4x2+x3+x4=1x1+x2-4x3+x4=1x1+x2+x3-4x4=1clearclca=-4 1 1 1;1 -4 1 1;1 1 -4 1;1 1 1 -4;b=1;1;1;1;x1(1)=0;x2(1)=0;x3(1)=0;x4=0;eps=1e-3;w=1.5; for k=1:20 x1(k+1)=w*(b(1)-a(1,2)*x2(k)-a(1,3)*x3(
9、k)-a(1,4)*x4(k)/a(1,1)+(1-w)*x1(k); x2(k+1)=w*(b(2)-a(2,1)*x1(k+1)-a(2,3)*x3(k)-a(2,4)*x4(k)/a(2,2)+(1-w)*x2(k); x3(k+1)=w*(b(3)-a(3,1)*x1(k+1)-a(3,2)*x2(k+1)-a(3,4)*x4(k)/a(3,3)+(1-w)*x3(k); x4(k+1)=w*(b(4)-a(4,1)*x1(k+1)-a(4,2)*x2(k+1)-a(4,3)*x3(k+1)/a(4,4)+(1-w)*x4(k);if norm(x1(k)-1),(x2(k)-1),(
10、x3(k)-1),(x4(k)-1)eps; breakendendx1,x2,x3,x4运行结果：第四章 对算法进行展望 逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SSOR迭代法，它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设解方程(7.1.3)的GS法记为 (7.3.1)再由与加权平均得 这里0称为松弛参数，将(7.3.1)代入则得(7.3.2)称为SOR迭代法，WTBX0称为松弛因子，当=1时(7.3.2)即为GS法，将(7.3.2)写成矩阵形式，则得 即于是得SOR迭代的矩阵表示(7.3.3)其中(7.3.4) 按(7.1.7)分解
11、，有 结 论 超松弛迭代法（SOR）是在高斯-赛德尔方法和Jacobi迭代法的基础上运用加权得到的，它相对于其他两种方法具有更快的收敛速度，但是得值不同，它的收敛速度也会不同，所以这个方法需要求出一个收敛速度最快的的值。参考文献1黄云清等.2009.数值计算方法.北京：科学出版社.2何道坤等.1985.实用线性规划及计算机程序.北京:清华大学出版社.3威尔金森J H.2001.代数特征值问题.石钟慈，邓键译.北京：科学出版社.附 录w = 1.2或1.5时：clearclca=10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10;b=9;7;8;x1(1)=0.5;x2(1)=0.5;x3(1)=0.5;eps=1e-3;w=1.2(1.5); for k=1:20 x1(k+1)=w*(b(1)-a(1,2)*x2(k)-a(1,3)*x3(k)/a(1,1)+(1-w)*x1(k); x2(k+1)=w*(b(2)-a(2,1)*x1(k+1)-a(2,3)*x3(k)/a(2,2)+(1-w)*x2(k); x3(k+1)=w*(b(3)-a(3,1)*x1(k+1)-a(3,2)*x2(k+1)/a(3,3)+(1-w)*x3(k);if norm(x
