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1、几何五大模型一、五大模型简介(1) 等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图所示，Ssub1/sub: Ssub2/sub=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图所示，Ssub1/sub: Ssub2/sub=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图所示，SsubAACD/sub=SsubABCD/sub；反之，如果SsubAACD/sub=SsubABCD/sub，则可知直线AB平行于CD。例、如图，三角形ABC的面积是24, D、E、F分别是BC、AC、AD的中 点，求三角形DEF的面积。【详解】簸拗口，S = -S
2、sq = -x24 = 12lLD卫=J SnJDf = 3 X = W SjEF =N$：LAE =3（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三 角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹 边的乘积之比。如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线 上的点则有：SsubABC/sub：SsubADE/sub=(ABXAC)：(ADXAE)我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理!如图连接BE,根据等积变化模型知，SsubADE/sub：SsubAABE/sub =AD： ABSsubAABE/sub：SsubA
3、CBE/sub=AE： CE，所以 S subAABE/sub：SsubAABC/sub=SsubAABE/sub：(SsubAABE/sub+SsubACBE/sub)=AE： AC，因此 SsubADE/sub： SsubAABC/sub = CSsubAADE/sub：SsubAABE/sub)X(SsubAABE/sub：SsubAABC/sub) =(AD： AB)X(AE： AC)。例、如图在AABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB： AD=5:2,AE： EC=3:2,ADE的面积为12平方厘米，求AABC的面积。1详解】根据鸟买模型可知：5 := AB xAC）: ,
4、AD x AE）,所以5=碧务5 =村血2，平方哩料 （3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）5：禺二/若 S：禺：& ：，“ =疽 芳:品- 梯形s的对应价数为3+ 6）气例、如图，梯形ABCD, AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O,已知 AAOBABOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD 的面积。DC【详解】由梯形锄蝶定理的性质郁.瞬，代=奇（站CD） = 3八所以 电CD二5:7；所以二如8二5 7七此49、即 心暨二49平方厘 米，而5朝*林=35平方厘米，所以梯形ABCD的面楸:25+35+35+49=14（平方厘米L2、任意四边形中的比例关系（
5、“蝴蝶定理”）：B&禺=脆&或者发禺=S漆SpAO.OC =（1七品工（昆+禺）例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3,求CO的长度是DO 长度的几倍。HC1详解】由任意四边形蝴蝶定理的性质知,= 京=1： &所以 0C二3A0次X2二6,所玖醵 m二&:3二么:蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途 径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内 的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关 系。（4）相似模型1、相似三角形：形状相同，大小不相等的两个三角形
6、相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线 和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质： 相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于 相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线!e JD AE DE AFAB AC BC AG 5心国= AF2 : ACF *例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少?【详解】根据平行四边形的性质知，起平行TCD,所以由沙
7、漏模理知,BF.FC = BE:CD = A:16 = 1A,所UlFC = 10x 二私144（5）燕尾模型g UL_cE由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型，看一下它都有哪些性质：SsubAABG/sub：SsubAACG/sub=SsubABGE/sub：SsubACGE/sub=BE： CESsubABGA/sub：SsubABGC/sub=SsubAGAF/sub：SsubAGCF/sub=AF： CFSsubAAGC/sub：SsubABGC/sub=SsubAAGD/sub：SsubABGD/sub=AD： BD 例、如图，E、D 分别在
8、AC、BC 上，且AE： EC=2:3, BD： DC=1:2, AD 与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC 的面积。AA详解】如图所示，连接CF构造燕尾模型。根据燕尾模型性质可知：，里_ 2D _ 2 ，_ AE _ ?2 SjhCBF 五。3现设疆广1份,则 临二2份危皿K价、如制粉、Ssf = 4乂上二L. 份、S CEF 4x-.二2 4 份。所以4=4. 4 粉、$广2+3+4二勺份口5D. = 22 4. 4X9=45 (平方厘米1*1 q 侦二五大模型经典例题详解(1) 等积变换模型例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正
9、方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？祥解】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边提、耽、就被分成 了相等的三段，把点H和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分 割成了 9个寿状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针 标记m这9个三角形的底边都是正方形询长的三分之一；阴影部分被分割成了其中 的3个三角形。根据等积变换模型可知，CD边上的阴影三角形的面积与第1,0个三角形相 等，既边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等，AB边上的阴影三角形与第5. 个三角形相等.因此，阴戢面积是空白面积的二分之一，是正方形面和.的三分 之一，即；12X12-3=43.例2、
10、如图所示，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点， 且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分 三角形PQM的面积。【详解】如图所示，连接CE、口E,由于DQr ME平行，根据同底等高知， ，I 理根据及平 1J， a pvjf，所SiFgAT = CDE 由于四边形ABCD为直角梯形，所以腿e=*皿弟一$皿一=牛5+7）（5 + ?跄5-?沁7二5,即阴最三 角形PQM的面积为25o（2）鸟头（共角）定理模型例 1、如图所示，平行四边形ABCD, BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD, 平行四边形ABCD的面积为2,求
11、平行四边形ABCD与四边形EFGH的面 积比。t详解】如图所示，连ft AC. BD,由于在ABC、EEF中，匕招。与ZEBF互补，所成根据鸟头定理有金些二坐竺二丝二 因为S 皿 BE SF 1脂 3二顼平有8皿.二1，所以，咐二3;同理可得览皿二4履二85皿=4 x】=$过湖=5定=15*8+8 + 15 + 3 + 2 361is例 2、如图所示，AABC 的面积为 1, BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG, 求AFGS的面积。【祥解】 首先根据等积变换模型知，所以S 45根据鸟头定理有* C.AGE g=L所以=吼西兰詈= WIW = g = 所认膈卸=喝艰所以功莓
12、算由AD BD 1X11-lAJJ 心 _Sg AD DC 1x4 4AIlXJ所以. SajZU =若5所认膈乳*5即(3) 蝴蝶模型例1、如图，正六边形面积为1,那么阴影部分面积为多少?【详解】如图所示，连接阴髯四边形的对角线，此时正六边形被平分成两半.设 M的面积为1份，根据正六诃形的特殊性质知C二如,再根据梯形蝴蝶定 理，标出各个三角形所占份数，所以整个正六边形被分成了鬟份，阴影部分站 其中的8粉，即阴影部分面耘为：-xl=l.189例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。1详解】如图所示，连接D CR在
13、梯形EICT中，根据梯形蝴蝶定理知,5还幽反5空此=赤邸鬼5亚如= 2xS = 16 ,即S邸函=Wrjc =，所以,皿?d = 8 + 4 = 12 f 5 芸方尊= 12 X 2 = 24，S求嚎口皿= 24-二-2-8 = 9。例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。【详解】设BD与CE的交点为。，连接BE. DF,在梯形BCDE中,由梯形蝴蝶定 理知，EO-.CO=Sed:而s皿9 = qS正、ABCD =? 所以E0-C0 = 2.又因为F为郭的中点，所E0:F0=2A .在四辿形BFBE中，由蝴蝶定理知，
14、。空。=膈皿5空四=、 所以任E 昏SE游顼58。所以 皿g 二=T7E lc正方况科二二乂1。心。= 6.25 (平方厘米) 16(4) 相似模型例1、如图，正方形的面积为1, E、F分别为AB、BD的中点，GC=1/3FC,求阴影部分的面积。r详解】如图所示，作FH垂直昭于点H, GI垂直旺于点L根据金字塔模型 知，CI： CH=CG： CF=1:3；因为 F是 E的中点，所以 CH二BH, CI： CB=1:6,即 BI： BC=(6T 6 二 5:6,所以 S 冲仁二2 xJ 二三。皿& 2 2 6 24例2、如图，长方形ABCD, E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G 和H, OE垂直于AD，交AD于E点，交AF于。点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。r详解】根据长方形的性庙知，提平行于df,再根据沙漏模型知AB-.DF=AH-RF=5-3 又因为互为的中点 0E:朋=1; 23 AB:OE = 5:- = 10:32 利用相似三角形性质可得： AG:DO=AB:OE=0:3
