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1、两角和与差的正弦、余弦和正切 公式（教师版）两角和与差的正弦.余弦和正切公式【最新考纲】匕会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2 会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3会用两角差 的余弦公式推导出两角和的正弦*余弦.正切公式及二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系4能利用两角和（差人二倍角 公式进行简单的三角恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角 公式，但不要求记忆人血遠蠡夯实取基II基础梳理r两角和与差的正弦、余弦、正切公式(l) sin(a土=%in 口 co% B co宮 sin 卫；a cos B 干或n a 啟in B ;(3)tan(ap) =tn a
2、 tan B#2. 二倍角的正弦、余弦.正切公式(l)sin 2 a =2sin a cos a ；(2) cos 2 a =cos2 a sin1 a = 2O* a 1 =】一2或用 a :(3) tan 2 a2tan 口1tan Q3有关公式的变形和逆用公式T十山的变形=tan a +tan B =tan(ot+0)(1tan 口 tan B )；tan 在tan P =饴口(旳(1 + 曲 tn B )(2)公式C爲的变形匕sin2 a =(1 cos 2 a )：2(S)cosz a =(1+cos 2 叮.2公式的逆用(1) 1 sin 2 a =(sin a cos a )3；
3、n書in a 土to# a =；2sinL 4丄4.辅助角公式asin a +bcos a = a2+b2sinfa+(a)(其中 tnn =-) aI学情自测r (质疑夯基)判断下列结论的正误”(正确的打 7 ,错误的打协x ”)存在实数a, P ,使等式sin(a + p)=sin a +sin B成立()(2) 在锐角ABC中才sin Asin B和cos Acos B大小不确定.()公式tan(a + p)= tan 刃11 可以变形为tail a +tan 1t纽n a tan pP =tan(a+p)(l tan a tan B ),且对任意角a, B 都成立.()(4)公式血in
4、 x4-bcos x yja2+b2sin(x+(p)中(p的取值与 為b的值无关* ()答案= J (2)X(3)X(4)X2. (2015 课标全国 I 卷)sin 20 cos 10- cos 160 sin 10解析：sin 20 cos 10 cos 160 sin 10=sin 20cos 10 +cos 20 sin 10= sin(20o + 10 ) = sin 3012.答案：D3.（经典再现）已知sin 2a2=3,则 co$（n好;4)=(AgB.1解析：t sin 2a =23,n1 + cos2 a+ 221 sin 2a=1j = 1=2 = 6.答案：A4. (
5、2015 重庆卷)若 tan1 13, tan( a+ 3 =2,则 tanA；B.6C.5D.f解析:tan3= tan()a晋吐叮严1 + tan ( a+ 3 tai#=1 =7.1 =1 .1 + 2心答案：A5.若锐角 a B满足(1 + /3tan a )(1 + /3tan 3) = 4,贝U a+ 3解析：由(1+ 3tan a )(1 + 3tan 3 ) = 4,tan a+ tan 3卄可得 1-tan a tan 3 =3,即 tan( + 3 =73-n又 a+ (0,n )，所以 a+ 3= 3 答案:q名师微博*通法领悟点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射，
6、 时刻关注角的范围是 防止增解的有效措施.两个技巧1 .拆角、拼角技巧：2 a= ( + 3+( - 3, a = ( + 33, 3a 3r 3a2 =严+ 2丿-2 + 3 2 丿2.化简技巧：切化弦，“ 1”的代换等.三种变化1. 变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系.2. 变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幕与降幕”等.3. 变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等.丫巒暫薩:高效捉能穿尿東刖I单烛成刊一、选择题33=a 2n 1s若1- 3.V 1-3- aa解析:2 acos a = 1 2sin1 2X1 =3.答案:3 sin 702.2 co$1
7、0 =()A.*dF解析:原式=3 sin 702 (3 cos 20 )2 (3sin 70)3 sin 70=2.答案:3.已知 sin a + cosb.17C.|解析：由 sin a+ cos a1得 1 + sin 2a=，解得 sin 2989,#所以sin2n1 cos 2 2 a21 sin 2a 17 “宀# 18.答案:4.已知a,且 cos a5则tan等于（解析：因a所以sin avn所以tan -4-B.13,2兀且 cos a#45,0,即sin35,所以tan_ 3 =4.1tan 1 + tan a答案：B5.已知sin#欝,sin( a B# 1010 ,a
8、, B均为锐角,5 nA 12nBnB均为锐角,冗2 v anBv 2又 sin( B# ,3 10二 cos( B# 10 又sina=. cos a=晳,2A#B= sin a- ( a- B )# sin a co$ c B cos a sin(53 105 % 1010 210 = 2.n4.答案：C二、填空题n 、36.若 sing +，贝y cos 20 =12丿5二 cos 20=2coS 0 - 1 = 2X答案:7257 . （2014山东卷）函数sin 2x+ coSx的最小正周期为解析：V 耐+0卜 cos0= 5,” lk 亠 31 + cos 2x( n 1解析： 原
9、式= sin 2x+-= sin 2x+：,22i6 丿 2二周期T = 2；=冗.答案：n8.(2014 课标全国 H 卷)函数 f(x) = sin(x+ 2)2sin cos(x ) 的最大值为.解析：丁 f(x) = sin(x+ 2 2sin cos(x )sin(x + + 2sin cos(x ) sin(x+ cos + cos(x sin 2sin cos(x + = sin(x+ cos cos(x sin = sin(x + sin x, f(x)的最大值为1.9.设函数 f(x) = sin x+ cos x， (x)是 f(x)的导数，若 f(x) = 2f (x)s
10、ini2x sin 2xcoSx解析：f (x) cos x- sin 兀由 f(x) = 2f (得sin x+ cos x= 2cos x- 2sin x,. cos x= 3sin x十 口 sin2x sin 2x sin2x 2sin xcos x 于是 cosx = cosxsin2x SsiHx5答案:529sinx9.一 9三、解答题10 .已知an2,、nJa，且 sinja+ cos=2 .(1)求 cos a 的值；3 n 、若 sin( -B) 5, 求 cos B 的值.解：因为sina + cosa = f,两边同时平方，得sin a1 n=2.又 2 vaVn,所
11、以cos an(2)因为 2 V aVn,冗2 V BVn,汗4.#nnn所以一nV BV 2，故一2 V a B sin a sin( a- B)沙 4+H- 34 3+ 310#1 2sin 2x11.(郑州质检)已知函数f(x) =COS-.cos x(1)求函数f(x)的定义域；4设a是第四象限的角，且tan a = 3，求f( a的值.解析：(1)要使f(x)有意义，则需COS炉0,二 f(x)的定义域是x|xm k n+ 2， k z(2)f(x)cos 2xcos x1 + cos 2x- sin 2x 2cox 2sin xcos xcos xcos x=2(cos x- sin x).由 tan a3，得 sin4gcos a又sin2 a+ co a = 1,且a是第四象限角,45.故 f( a= 2(cos a sin a12
