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1、高考数学精品复习资料 2019.5山东省理科数学一轮复习试题选编42：函数的最值与导数一、填空题 （山东省德州市高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数,给出如下四个命题:f(x)在)上是减函数; f(x)的最大值是2;函数y=f(x)有两个零点; f(x)在R上恒成立;其中正确的命题有_(把正确的命题序号都填上).【答案】 （山东省德州市高三上学期期末校际联考数学（理）已知若使得成立,则实数a的取值范围是.【答案】 【解析】,当时,函数递增;当时,函数递减,所以当时取得极小值即最小值.函数的最大值为,若使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即. 二、解答题 （山东省高三高考模拟卷（一）
2、理科数学）已知函数,的图象过点,且在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值;(2)求在为自然对数的底数)上的最大值;(3)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上【答案】【解析】(1)当时, 由题意,得即解得. (2)由(1),知 当时,由,得;由,得或.所以在和上单调递减,在上单调递增. 因为,所以在上的最大值为2. 当时,当时,;当时,在上单调递增. 所以在上的最大值为. 所以当时,在上的最大值为; 当时,在上的最大值为2. (3)假设曲线上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在轴两侧, 因为POQ是以O为直角顶点的直
3、角三角形,所以, 不妨设,则由POQ斜边的中点在轴上知,且 .所以.(*) 是否存在两点P,Q满足题意等价于方程(*)是否有解. 若,则,代入方程(*),得, 即,而此方程无实数解; 当时,则,代入方程(*),得,即, 设,则在上恒成立, 所以在上单调递增,从而,即的值域为. 因为,所以的值域为, 所以当时,方程有解,即方程(*)有解. 所以对任意给定的正实数,曲线上总存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上. （山东省济南市高三3月高考模拟题理科数学（20xx济南二模）已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.(1) 当a=
4、-1时,求f(x)的最大值;(2) 若f(x)在区间(0,e上的最大值为-3,求a的值;(3) 当a=-1时,试推断方程=是否有实数解.【答案】解:(1) 当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f(x)=-1+ 当0x0;当x1时,f(x)0. f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数 =f(1)=-1 (2) f(x)=a+,x(0,e, 若a,则f(x)0,从而f(x)在(0,e上增函数 =f(e)=ae+10.不合题意 若a00,即0x 由f(x)00,即xe. 从而f(x)在上增函数,在为减函数 =f=-1+ln 令-1+ln=-3,则ln=-2 =,即a=. ,a=为所
5、求 (3) 由()知当a=-1时=f(1)=-1, |f(x)|1 又令g(x)=,g(x)=,令g(x)=0,得x=e, 当0x0,g(x) 在(0,e)单调递增; 当xe时,g(x)0,g(x) 在(e,+)单调递减 =g(e)= 1, g(x)g(x),即|f(x)| 方程|f(x)|=没有实数解 （山东师大附中高三第四次模拟测试1月理科数学）已知函数(1)当时,求函数的单调区间;(2)已知对定义域内的任意恒成立,求实数的范围.【答案】【解析】: ()当时,的变化情况如下表:1+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是 ()由于,显然时,此时对
6、定义域内的任意不是恒成立的, 当时,易得函数在区间的极小值、也是最小值即是,此时只要即可,解得,实数的取值范围是 （山东省潍坊市四县一校高三11月期中联考(数学理)）已知函数()当时,求曲线在点处的切线方程;()当时,若在区间上的最小值为-2,求的取值范围; ()若对任意,且恒成立,求的取值范围.注:以下为附加题,附加题满分为5分,附加题得分计入总分,但附加题:23.已证:在中,分别是的对边.求证:.【答案】解:()当时, 因为. 所以切线方程是 ()函数的定义域是 当时, 令,即, 所以或 当,即时,在1,e上单调递增, 所以在1,e上的最小值是; 当时,在1,e上的最小值是,不合题意; 当
7、时,在(1,e)上单调递减, 所以在1,e上的最小值是,不合题意 ()设,则, 只要在上单调递增即可 而 当时,此时在上单调递增; 当时,只需在上恒成立,因为,只要, 则需要, 对于函数,过定点(0,1),对称轴,只需, 即. 综上 【D】23(本小题满分5分,但卷总分不超过90分) 证法一:如图,在中,过点B作,垂足为D , , 即, 同理可证, 证法二: 如图,在中,过点B作,垂足为D , , 同理可证, （山东省潍坊市高三上学期期末考试数学理（A）函数.(I)若函数在处取得极值,求的值;(II)若函数的图象在直线图象的下方,求的取值范围;(III)求证:.【答案】 （山东省枣庄三中高三上
8、学期1月阶段测试理科数学）设函数.()当时,求的极值;()当时,求的单调区间;()当时,对任意的正整数,在区间上总有个数使得成立,试问:正整数是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由【答案】解:(I)函数的定义域为 当时, 由得. ,随变化如下表:0极小值由上表可知,没有极大值 (II)由题意,. 令得, 若,由得;由得 若, 当时,或,; ,. 当时,. 当时,或,;,. 综上,当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为; 当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为; 当时,函数的单调减区间是, 当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为. () 当时,. ,. , 由题意
9、,恒成立. 令,且在上单调递增, ,因此,而是正整数,故, 所以,时,存在,时,对所有满足题意. （山东省济宁市高三第一次模拟考试理科数学 ）(本小题满分l3分)已知函数.(I)若a=-1,求函数的单调区间;()若函数的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45o,对于任意的t 1,2,函数是的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;()求证:【答案】解:()当时, 解得;解得的单调增区间为,减区间为 () 得, , 在区间上总不是单调函数,且 由题意知:对于任意的,恒成立, 所以,. ()证明如下: 由()可知 当时,即, 对一切成立 ,则有, （山东省济南市高三3月高考
10、模拟理科数学）设函数.(1) 求的单调区间与极值;(2)是否存在实数,使得对任意的,当时恒有成立.若存在,求的范围,若不存在,请说明理由.【答案】解: (1).令,得; 列表如下 -0+极小值的单调递减区间是,单调递增区间是 极小值= (2) 设,由题意,对任意的,当时恒有,即在上是单调增函数 , 令 若,当时,为上的单调递增函数, ,不等式成立 若,当时,为上的单调递减函数, ,与,矛盾 所以,a的取值范围为 （山东省夏津一中高三4月月考数学（理）试题）已知函数(I)求证(II)若对任意的,总存在唯一的(e为自然对数的底数),使得,求实数a的取值范围.【答案】 （山东省泰安市高三上学期期末考
11、试数学理）已知函数(I)若函数在区间上为增函数,求的取值范围;(II)若对任意恒成立,求正整数的值.【答案】 （山东省烟台市高三上学期期末考试数学（理）试题）某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围是一个周长为k米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元.假设座位等距分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为y元.(1)试写出y关于x的函数关系式,并写出定义域;(2)当k=50米时,试确定座位的
12、个数,使得总造价最低?【答案】 （山东省滨州市高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知函数,()求函数的单调区间;()若恒成立,试确定实数的取值范围;()证明:1).【答案】 （山东省日照市高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知是指数函数,且过点,令.(I)求的单调区间;(II)记不等试的解集为P,若且,求实数的取值范围;(III)当时,设,问是否存在,使曲线在点处的切线斜率与在R上的最小值相等?若存在,求出符合条件的的个数;若不存在,请说明理由.高三阶段训【答案】解:由题意可设,又过点, ,. (), (1)时,所以的单调区间是; (2)时,令,得, 且当时,当时, 所以的单调减区间
13、是,单调增区间是 () 因为,所以. 从而不等式在上恒成立,即在上恒成立. 令,则, 所以在上递增,在上递减. ,且, 所以,所以 (), 所以. 由(I)知,当时,的最小值是. 假设存在,使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等,则为方程即的解. 令, 由,知在上为减函数,在上为增函数, 所以,故方程在上有唯一解. 所以,符合条件的存在,且只有一个 （山东省济宁市高三4月联考理科数学）已知函数(1)若曲线在点(1,)处的切线与直线垂直,求实数a的值;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)当时,记函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)-e-4.【答案】 当时,函数在上单调递减,在上单调递减 (3)由(2)当时,函数的最小值为 a负0正减函数极小值增函
