高三概率概率第二节

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1、教学设计示例一教学目标：1了解离散型随机变量的方差，以及标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差2了解方差公式“ ”，以及“若 ，则 （这里 ）”并会应用上述公式计算有关随机变量的方差二教学重点：离散型随机变量的方差、标准差的概念及其求法 教学难点：离散型随机变量的方差的生活中的实际意义的理解三教学用具：投影仪四教学过程：1复旧引新（1）离散型随机变量 的期望概念、意义、计算方法（2）一组数据 的方差的定义及其意义（3）用类比一组数据的方差引出离散型随机变量 的方差2提出离散型随机变量 的方差、标准差及其计算方法（1）一般地，如果离散型随机变量 的分布列为那么，把 叫做随机变

2、量 的均方差，简称方差（2） 的算术平方根 叫做随机变量 的标准差，记作 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度其中标准差与随机变量本身有相同的单位，在实际中应用更广泛（3）两个计算方差的简单公式（不要求证明）： 如果 ，那么 ，这里 3讲解例1例1 设随机变量 的分布列为 12n 求 解： ，所以， 4讲解例2（教科书中例5）、例3（教科书中例6）5讲解例4例4 A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A机床次品数 0123概率 0.70.20.060.04B机床次品数 0123概率 0.80.060.040.10问哪

3、一台机床加工质量较好解： ， 它们的期望相同，再比较它们的方差 ，故A机床加工较稳定、质量较好6课堂练习做教科书第15页中的“练习”7归纳总结对随机变量的方差、标准差及其计算方法，以及它们的实际意义作一次总结五布置作业：教科书习题1.2第7、8题教案点评：1.通过实际复习和具体实例，了解方差的在生活中作用和必要性。 2.通过4道例题和练习的训练，旨在加强对方差公式的认识。通过例题的练习，渗透用方差来解决一些问题或作出科学的决策典型例题例1、某批数量较大的商品的次品率是5，从中任意地连续取出10件， 为所含次品的个数，求 分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05， 可能取值是：

4、0，1，2，1010次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数 服从二项分布，由公式 可得解解：由题， ，所以 说明：随机变量 的概率分布，是求其数学期望的关键因此，入手时，决定 取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点此题 ，应觉察到这是 例2、设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求 值，并求 101P分析：根据分布列的两个性质，先确定q的值，当分布列确定时， 只须按定义代公式即可解： 离散型随机变量的分布满足（1） （2） 所以有 解得 故 的分布列为101P 小结：解题时不能忽视条件 时， ， 否则取了 的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算例3、一批产品共100件，其中有

5、10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率（精确到0001）分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情况的和解：抽取的次品数是一个随机变量，设为 ，显然 可以取从0到5的6个整数抽样中，如果恰巧有 个（ ）次品，则其概率为 按照这个公式计算，并要求精确到0001，则有 故 的分布列为012345P0.5830.3400.0700.00700 由分布列可知， 这就是说，所抽取的5件品中3件以上为次品的可能性很小，只有7例4、有n把看上去样子相同的钥匙，其中只

6、有一把能把大门上的锁打开用它们去试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放回求试开次数 的数学期望和方差分析：求 时，由题知前 次没打开，恰第k次打开不过，一般我们应从简单的地方入手，如 ，发现规律后，推广到一般解： 的可能取值为1，2，3，n ；所以 的分布列为：12kn ； 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键例5、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别

7、为：甲保护区：01230.30.30.20.2乙保护区：0120.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小（当然，亦可计算其标准差，同样说明道理）解：甲保护区的违规次数 的数学期望和方差为： 乙保护区的违规次数 的数学期望和方差为： ；因为 ，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动（标准差 这两个值在科学计算器上容易获得，显然， ）说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均

8、大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等），这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差）方差大说明随机变量取值分散性大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定例6、某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数 的分布列，并求出 的期望 与方差 （保留两位小数）分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解解： 该组

9、练习耗用的子弹数 为随机变量， 可以取值为1，2，3，4，5 1，表示一发即中，故概率为 2，表示第一发未中，第二发命中，故 3，表示第一、二发未中，第三发命中，故 4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故 5，表示第五发命中，故 因此， 的分布列为12345P0.80.160.0320.00640.0016 说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解对应的概率例7、某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取假设任一客户去领奖的概率为4问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准

10、备多少礼品？分析：可能来多少人，是一个随机变量 而 显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行解：设来领奖的人数 ，所以 ，可见 ，所以， （人） （人）答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题数字期望反映了随机变量取值的平均水平用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值因此，要想到用期望来解决这一问题选题角度：例1，例2，例4，例6是期望与方差求解的基础和能力训练题；例3，例5，例7是利用数学期望和方差在实际生活中的实际应用。基础练习 1已知离散型随机变量的分布列如下：2345P

11、0.10.40.20.3求E210件产品中有3件次品，从中任取2件，求其中取到的次品件数的期望3从口袋里标号分别为1，2，3，4，5的五个小球中任取一个小球，求所取的小球标号的期望4篮球运动员在比赛中，每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球的命中率为0.8，求他罚球二次得分的期望5同时抛掷2枚硬币，设正面向上的故数为，求的分布列以及E6设是一个离散型随机变量，其分布列如下表：101P求x的值以及E、D7从含有3件次品的10件物品中任意抽取4件，记其中所含次品数为（1）求的分布列；（2）求E和D8甲、乙两名射手在相同条件下进行射击，他们各自去中环数的分布列分别为：射手甲 射手乙击中环数 8910 击中环数 8910P0.20.60.2 P0.40.20.4由此分析甲、乙两名射手谁的射击水平比较稳定？9现有A、B两种钢材，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度，得到的分布列分别为： 110120125130135P0.10.20.40.10.2 100115125130145P0.10.20.40.10.2其中 分别表示A、B两种钢材的抗拉强度在使用中要求钢材的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢材哪一种质量较好？参考答案1 2记其中取到的次品数为，可能的取值为0，1，2 3 4 ，服从二项分布， ，故 5的分布列为012P 6由 可解得 7（1）01